БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ 2х2

Б И М А Т Р И Ч Н Ы Е И Г Р Ы

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СИТУАЦИЯ РАВНОВЕСИЯ

В матричной игре интересы двух игроков были прямо противоположны, то есть речь шла об антагонистической игре. Однако гораздо чаще встречаются ситуации, в которых интересы игроков хотя и не совпадают, но не обязательно являются противоположным.

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой два игрока имеют следующие возможности для выбора своей линии поведения:

а) 1-й игрок может выбрать любую из стратегий ;

б) 2-й игрок - любую из стратегий .

При этом, в ситуации выигрыш первого игрока будет равен , а второго - , причем, вообще говоря .

Тогда получаем две платежные матрицы размерности :

и . (3.1)

Здесь – платежная матрица 1-го игрока, - платежная матрица 2-го игрока.

В этом случае говорят, что речь идет о биматричной игре двух игроков с платежными матрицами (1).

Отметим, что при получаем обычную матричную игру.

Рассмотрим один пример биматричной игры.

№ 3.1.(Преподаватель - Студент). Студент (1-й игрок) готовится к зачету, который принимает Преподаватель (2-й игрок). У студента есть две стратегии - подготовиться к зачету, - не готовиться. У преподавателя есть две стратегии: поставить зачет и - не поставить зачет. Постройте платежные матрицы игры.

Решение. В основу значений функции выигрыша положим следующие качественные соображения:

…

Количественно выигрыши игроков можно выразить, например, как

, .

Рассматривая биматричную игру, перейдем сразу к смешенным стратегиям и определим средние выигрыши игроков математическим ожиданием:

, . (3.2)

Будем говорить, что пара векторов и определяют равновесную ситуацию, если при любых и , удовлетворяющих условиям , , , справедливы неравенства:

. (3.3)

Неравенства (3.3) означают, что если игрок отклонится от равновесной ситуации , то его выигрыш может только уменьшиться.

На вопрос о существовании ситуации равновесия отвечает следующая теорема.

Теорема 3.1. (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стратегиях.

Остается разрешить проблему нахождения этой ситуации равновесия.

БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ 2х2

Рассмотрим биматричную игру :

, ,

с вероятностями , , , .