Приложение формальных записей к описанию протяжённых фигур

Основными обрабатываемыми компьютером объектами производства являются форма, материал и движение неодушевлённых явлений – предметов искусственной материи, прохождений жизнью какого–то плана. Это обеспечивается развивающим объединением частей математики, физики, метрологии, информатики и т. п. дисциплин в единое учение о ведении и поддержке производственного процесса. [8]

Электронная форма записи – сплошь дискретные алфавитно–числовые данные. И выделением лишь поверхности общего вида здесь обойтись нельзя. Потребность явно выразить расположение поверхности в пространстве удовлетворяется разбиением её на приближенные к знаковым рядам части – линии и точки. Закон соединения точек в линии и поверхности задаётся программно – как алгоритм, или численно – форматом записи данных. [13]

Современная компьютерная развиваемая модель реального объекта в общем случае есть обобщение известных человеку законов, которыми можно описать большинство фигур, с которыми имеют дело искусство и техника. В составе подобной модели, вне зависимости от конкретного программного воплощения, могут находиться структурные единицы нулевого, первого и второго приближений прерывности, приведённые далее в системном виде.

1) весьма малые точки:

1) организационно –

– свободные точки,

– точки линий ([1..2] соседа),

– точки поверхностей ([3..N] соседа),

– точки в составе и линий, и поверхностей;

2) геометрически –

– плоского касания (основание нормали к поверхности),

– кромки (общее основание двух нормалей к поверхности),

– изломный сход N кромок (общее основание 2 < N < ∞ нормалей),

– сходящийся с вывертами или без них, из плавной или каплевидной линии стоячий или скользящий шип-воронка (основание одного пучка нормалей, замкнутого в кольцо или разомкнутого),

– излом кромки (основание двух разобщённых пучков нормалей),

– изломный сход в N кромок (основание 2 < N < ∞ разобщённых пучков нормалей),

– плавный сход в кромку (основание двух смежных пучков нормалей);

– плавный сход в N кромок с общим плоским касанием (основание 2 < N < ∞ смежных пучков нормалей),

– различные сочетания в одной точке признаков кромок, шипов-воронок, стремления к ним и касания к ним (любое совпадение оснований и смежных, и не смежных и отдельных нормалей, и пучков нормалей; самая трудновообразимая из представимых в данном приближении точек),

– точка представимо хаотической формы (хотя бы несколько нормалей к поверхности не образуют явных сочетаний; типичная точка для трудно и редко цифруемой формы – наподобие скульптуры деструктивного авангарда или просто засохших в случайном состоянии материалов свободно изменяемой формы),

– точка непредставимой во втором приближении формы (к счастью или к сожалению, в природе встречается и такое);

3) предельно –

– собственные (составляющие весьма малую часть) для линии, для поверхности,

– несобственные (ведущие форму из содержащей фигуры вовне или в недостижимый предел) для линии, для поверхности;

2) весьма тонкие линии:

1) топологически – единичные, ветвящиеся, замкнутые;

2) геометрически –

– как коробовые прямые, окружные;

– как высокостепенные сплайновые, аналитические;

3) предельно –

– собственные для поверхности,

– несобственные для линии, для поверхности;

4) организационно – свободные линии, линии поверхностей;

3) весьма тонкие поверхности:

1) топологически –

– разомкнутые,

– ветвящиеся

сингулярно от точки,

сингулярно от линии единичной, ветвящейся, замкнутой,

– замкнутые в ленту, в пузырь, в бублик;

2) геометрически –

– как коробовые плоские, цилиндрические, конические, тороидные,

– как высокостепенные

образовательно кинематические – прямолинейчатые, окружнолинейчатые,

образовательно сплайновые – тритканевые, клетчатые,

– как аналитические;

3) предельно – собственные для объёма, несобственные для объёма;

4) однородные объёмные наполнители. [36]

Самое распространённое приближение естественного объёма вещества – очерк его границей областей двух известно различных свойств этого вещества. Таковы в первом приближении принципы устройства, к примеру, классической скульптуры и флорентийской мозаики. Машинная графика также следует этому принципу. [13]

Исчерпывающее представление любой изготовимой поверхности строго рельефного вида в математике выполняет функция двух аргументов. Такие функции широко изучены на предмет упрощения имеющихся аналоговых данных до цифрового представления. С представлением задуманного дизайнером объекта напрямую с помощью компьютера положение более трудное, так как задача здесь не в дедуктивной многоуровневой группировке "сырых" данных в приближённые к ним менее емкие информационно конструкции. [31]

Задача эта несколько противоположная: из грубейше приближённого представления путём сознательных преобразований сделать нечто, отвечающее художественному замыслу. [2]

Распространённые ныне формы записи объёмных фигур перечислены в списке далее. Отличием каждого следующего из них от предыдущего состоит в количестве дискретизованных данных: в первом случае это лишь положения точек в пространстве, в последнем – и положения точек, и пары величин уклонов и радиусов кривизны участков поверхности, которым эти точки принадлежат.

1) «Воксельный массив» (рис. 3.1.3) –

1) объёмная сетка–«мыльная пена», регулярно составленная из кубов или иных одинаковых равновеликих объёмных ячеек, составляющих адресуемый массив, и содержащих каждая по известной математической величине;

2) форма математически выражается матричной записью,

3) аналогичный изобразительно–творческий метод назван «точечным»; эта форма – самая безразличная к изображаемой форме, так как не использует точного различия единой фазы и единой среды;

4) самая универсальная и самая затратная для памяти компьютера форма записи объёма.

Рисунок 3.1.10. Примеры вокселизации

2) «поточечная карта высот» (рис. 3.1.4) –

1) множество точек с целыми координатами на плоскости, имеющих известный построчный ряд величин-высот, соединённых «клетчатой» сеткой отрезков так, что сетка образует требуемую форму;

2) форма математически выражается функцией двух дискретных переменных;

3) аналогичный изобразительно–творческий метод назван «линейным»

4) при условии умеренной машинной затратности пригодна для решения технических задач с неизвестной заранее скульптурной формой

Рисунок 3.1.11. Примеры карт высот

3) «триангуляционная сетка» (рис. 3.1.5) –

1) сетка смежносторонних плоских треугольников, отрезки сторон которых соединёны в известном множестве точек объёма в сетку прямых отрезков в соответствии с известной структурной записью;

2) форма математически выражается треугольногранным приближением произвольной неразрывной поверхности;

3) аналогичный изобразительно–творческий метод назван «пятновым»;

4) это – наиболее универсальная запись для неразрывных поверхностей, в которой в общем случае структурная организация подчинена метрической; все современные компьютерные видеоигры используют в первую очередь её;

Рисунок 3.1.12. Примеры триангулярных моделей [34]

4) «рационально-сплайно-лоскутные фигуры Безье» (рис. 3.1.6)–

1) переходящие друг в друга по линиям касания или любого пересечения и смыкания плавные поверхности, каждая из которых закономерно обтекает своими линиями в два или три потока цепи отрезков, смыкающихся в смежносторонние четырёхугольники или треугольники ломаного каркаса в известных множествах точек объёма;

2) форма выражается многими различными, но имеющими много общего математическими аппаратами, в том числе – различными сплайновыми выражениями под популярным названием «N. U. R. B. S.»;

3) аналогичный изобразительно–творческий метод назван «объёмным»;

4) это – весьма универсальная запись для непрерывно плавных (хотя бы в нескольких начальных приближениях) поверхностей, в которой метрическая организация подчинена структурной; современные наиболее совершенные в декоративном смысле универсальные скульптурно–проектные программные системы используют в первую очередь её, а потом уже – что–либо из ранее перечисленного. [11]

Рисунок 3.1.13. Примеры сплайно-лоскутных фигур (второе – см. источник [33])

5) множество разных алгоритмических форм записи целевого образа изделия, в том числе гибридные в отношении различения программ и данных скриптовые программы–формулы (рис. 3.1.7); это не вполне наглядные изобразительные программы, способные как написать и исполнить себе подобные программы, так и описать модели (в том числе рекурсивно). [35]

Рисунок 3.1.14. Объёмные фрактальные фигуры,
полученные рекурсивными алгоритмами

Здесь можно вспомнить слова, любимые известным учёным Карлом Линнеем: «Вселенная недвижима; камни растут; растения растут и живут; животные растут, живут и чувствуют; люди растут, живут, чувствуют и рассуждают о Вселенной». [30]

Следует отметить, что научные теории, одними из первых описавшие изложенные выше формы представления графических данных, имели энциклопедический философски–всеохватывающий характер. Поэтому, исходя из сопоставления уровня трудности для компьютера каждого из перечисленных выше методов с уровнями организации материи в физической реальности, можно заключить, что:

– самые «неживые», космически элементарные материи наиболее наглядно изображаются с помощью воксельного метода;

– медленные, широкого метрического диапазона минеральные миры очень удачно описываются триангуляционным методом;

– умеренно быстрые, широкого структурного диапазона растительные миры соответствуют NURBS-методам и их рекурсивно-алгоритмическому употреблению;

– трудность в компьютерном описании животного мира вызвана неготовностью существующих моделировочных методов к продуманной изобразительной работе; частично решена такая задача разве что для случая грибов, устройство формы которых ближе всего к животным объектам; так, явно подобны по форме грибам изображённые компьютером люди и животные, если только для их изображения не привлечены натурные слепки. [2]

Печально, что при переходе к компьютерным производственным машинам начертательное воображение встречает отчуждёние инженеров–машиностроителей от моделистов. Современная машина метрического вывода способна воплотить по ряду точек пространства [3...5]-й размерности любую цепь прямых отрезков в любом движении: и в снятии ненужного слоя с переменно–скоро вращающейся и ползущей в неподвижных осях заготовки, и в сферико-полярном наклоне суппорта, и в его подаче вперёд-назад. Однако оторвана от модели исполнительная механика для поверхностей, неоднозначно сводимых к точкам: дуги в монотонном порядке берутся из клетчатой поверхности кубичного пространства, изламываются и передаются исключительно кусочно-поступательными и кусочно-вращательными движениями. Отсюда многоосная подача оказывается неоптимальной и избыточной. Создаётся впечатление, что модельщики и инженеры поссорились как друг с другом, так и с геометрографией, что вдобавок отталкивает ясно мыслящих художников. [8]