ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Основные сведения. Случайные события и их вероятности

Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление комплек­са условий или действий, при которых наблюдается соответствующее яв­ление. Возможный результат опыта называют событием.

Случайным называется событие, которое в данном опыте может произойти, а может и не произойти.

Событие называют достоверным в данном опыте, если оно обяза­тельно произойдёт в этом опыте. Событие называется невозможным в данном опыте, если оно в этом опыте произойти не может.

Два события называются совместными в данном опыте, если появ­ление одного из них не исключает появления другого в этом опыте, и несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если появление од­ного из них равносильно непоявлению другого.

События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Суммой, или объединением двух событий, называется событие, со­стоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается А + В. Аналогично определяется и обозначается сумма п событий:

п

ΣА_i = А₁ + А₂ + ... + А_п.

i=1

Эта сумма означает событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них.

Произведением, или пересечением двух событий, называется со­бытие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий А и В обозначается через АВ. Произведение п событий

п

ПА_i = А₁ * А₂ * ... * А_п.

i=1

означает событие, состоящее в появлении всех событий А₁, А₂... А_п.

Вероятность события

Классическое определение вероятности. Вероятность собы­тия А определяется формулой

Р(А) = m/n,

где n — число всех равновозможных элементарных исходов опыта, m — число элементарных исходов, благоприятствующих событию А.

Вероятность Р(С) наступления хотя бы одного из двух несовмест­ных событий А и В равна сумме их вероятностей:

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Вероятность Р(А) противоположного события А: Р(А) = 1-Р(А).

Решение задач

1. Для проведения лотереи отпечатали 2000 билетов, из которых 100 вы­игрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется вы­игрышным?

Решение. Общее число исходов равно количеству лотерейных би­летов, то есть 2000. Благоприятных исходов — купить выигрышный би­лет — 100. Так как все исходы равновозможные, то искомая вероятность равна = = 0,05

Ответ: 0,05.

2. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сум­ме выпадет чётное число очков, не превосходящее шести.

Решение. Все равновозможные исходы при бросании двух кубиков образуют множество пар, в которых первая цифра — количество очков, выпавших на первом кубике, вторая — на втором. Количество всевоз­можных пар равно 6 • 6 = 36.

Событию выпадения на двух кубиках в сумме чётного числа очков, не превосходящего шести, соответствуют девять пар (1; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 1), (1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1). Следовательно, вероятность того, что на двух игральных кубиках в сумме выпадет чётное число очков, не превосходящее шести, равна

= 0,25.

Ответ: 0,25.

3. В контрольной по математике 5 задач с выбором ответа. К каждой задаче предлагается четыре ответа, один из которых верный. За четыре верно решённые задачи ученик получает оценку. 4. Какова вероятность получить 4, если случайным образом отметить верные ответы?

Решение. Так как к каждой задаче предлагается четыре вариантов ответов, то общее число возможных комбинаций ответов равно 4⁵ = 1024. Благоприятными исходами являются 4 верно проставленных ответа. Та­ких исходов 5: четыре из пяти задач решены верно. Так как все исходы равновозможные, то искомая вероятность равна .

Ответ: .

4. В мешочке лежат неразличимые на ощупь карточки с буквами К, О, С, М, О, С. Какова вероятность того, что, наудачу извлекая карточки и выкладывая их на столе, получится слово КОСМОС?

Решение. Занумеруем карточки числами от 1 до 6: К₁О₂С₃М₄О₅С₆. Общее число исходов равно количеству перестановок шести карточек, то есть 6!. Благоприятными исходами будут следующие: К₁О₂С₃М₄О₅С_6, К₁О₂С₆М₄О₅С₃, К₁О₅С₃М₄О₂С₆, К₁О₅С₆М₄О₂С₃.

Так как все исходы равновозможные, то искомая вероятность равна = = . Ответ: .

Математическая статистика — дисциплина, разрабатывающая ма­тематические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Мода — значение признака, имеющее наибольшую частоту в стати­стическом ряду распределения.

Среднее арифметическое (или просто среднее) набора чисел — это сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество.

Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжи­рованный (упорядоченный) ряд распределения на две равные части. Для нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое нахо­дится на середине упорядоченного ряда. Если упорядоченный ряд состо­ит из чётного количества чисел, то нужно взять среднее арифметическое тех двух чисел, которые наиболее близки к середине.

ПРИМЕРЫ

1. Измеряя рост семи пришедших на урок учеников, учитель физкульту­ры получил ряд чисел: 152,148,152,154,158,148,152. Найдите разность между модой и медианой этого ряда.

1) 1 2) -1 3) -2 4) 0

Решение. Модой ряда является число, наиболее часто в нём встре­чающееся. Мода данного ряда равна 152.

Для того чтобы найти медиану, упорядочим заданный ряд по возрас­танию: 148,148,152,152,152,154,158. Поскольку в этой последователь­ности нечётное число элементов, то медианой ряда будет число, стоящее посередине, то есть 152. Следовательно, разность между модой и медиа­ной равна 152 - 152 = 0.

Ответ: 0.

7. Дима в четверти получил по 10 предметам среднюю оценку 4,2. По ка­кому количеству предметов он должен улучшить оценку на 1 балл, чтобы его средняя оценка стала 5?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 8

Решение. Согласно условию задачи, мы имеем ряд чисел х₁, ₂,… х_п (оценки по каждому из предметов).

Следовательно, сумма набранных баллов по всем предметам S = x₁+ х₂ +… + х₁₁ + х₁₂= х• п = 4,2 • 10 = 42.

Пусть y_1, y₂,…. y_n — ряд чисел, соответствующий оценкам Димы после их исправления. Количество элементов этого ряда осталось преж­ним, п = 10 (количество предметов), и, согласно условию, среднее ариф­метическое нового ряда у = 5 (средний балл, который Дима желает по­лучить).

Тогда сумма баллов после исправления S₁ y₁+_, y₂+…+ y₁₁+ y₁₂= y• n = 5 • 10 = 50.

Следовательно, Дима должен улучшить свой результат на S₁ - S = 50 - 42 = 8 баллов.

Значит, он должен улучшить на 1 балл оценки по 8 предметам. Ответ: 4.