Метод множителей Лагранжа. Другой способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа

Другой способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных х₁, x₂,…, х_п, что и целевая функция z.

Пусть решается задача определения условного экстремума функции при ограничениях (7.8).

Составим функцию

(7.14)

которая называется функцией Лагранжа. λ_i — постоянные множите­ли (множители Лагранжа). Отметим, что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если - доход, соответствующий плану , а функция - издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то λ_i - цена (оценка) i-го ресурса, характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости от изменения размера i-го ресурса (маргинальная оценка). L(X) - функция п+т переменных . Опреде­ление стационарных точек этой функции приводит к решению системы уравнений

(7.15)

Легко заметить, что , т.е. в (7.15) входят уравнения связи. Таким образом, задача нахождения условного экс­тремума функции сводится к нахождению локального экстремума функции L(X). Если стационарная точка найдена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях реша­ется на основании достаточных условий экстремума — исследова­ния знака второго дифференциала d²L(X) в стационарной точке при условии, что переменные приращения ∆х_j ,связаны соотно­шениями

(7.16)

полученными путем дифференцирования уравнений связи.