Метод Гаусса

Суть метода состоит в следующем. Вначале квадратную матрицу коэффициентов при неизвестных преобразуют в верхне-треугольную матрицу (прямой ход). Для этого сначала первое неизвестное исключают из второго и последующих уравнений системы, затем второе неизвестное исключают из третьего и последующих уравнений и так далее. Таким образом, в последнем уравнении остается только одно неизвестное. Для реализации прямого хода используют следующие известные правила:

- любое уравнение системы можно умножить на постоянный коэффициент;

- можно сложить два любых уравнения системы и результат записать вместо одного из этих уравнений.

На втором этапе последовательно вычисляют значения всех неизвестных, начиная с последнего (обратный ход).

Рассмотрим применение метода Гаусса на примере. Пусть имеем такую систему из трех уравнений:

Для исключения первого неизвестного из второго уравнения умножим первое уравнение на (-a₂₁/a₁₁), т.е. на –0,5. Первое уравнение примет вид

-2x₁ – 0,5x₂ + 0,5x₃ = -1,5.

Сложив его со вторым уравнением исходной системы (2.2), получим

– 2,5x₂ + 1,5x₃ = -0,5.

Можно заметить, что неизвестное x₁ в данном уравнении отсутствует.

Для исключения первого неизвестного из третьего уравнения системы (2.2) умножим первое уравнение этой системы на (-a₃₁/a₁₁), т.е. на –0,25. Первое уравнение примет вид

-x₁ – 0,25x₂ + 0,25x₃ = -0,75.

Сложив его с третьим уравнением исходной системы (2.2), получим

-1,25x₂ + 2,25x₃ = 4,25.

Можно заметить, что и в этом уравнении неизвестное x₁ отсутствует.

Таким образом, система (2.2) примет вид

4x₁ + x₂ – x₃ = 3

-2,5x₂ + 1,5x₃ = -0,5(2.3)

-1,25x₂ + 2,25x₃ = 4,25

Теперь исключим неизвестное x₂ из третьего уравнения системы (2.3), сложив его со вторым уравнением системы (2.3), умноженным на –0,5. Получим систему

4x₁ + x₂ – x₃ = 3

-2,5x₂ + 1,5x₃ = -0,5(2.4)

1,5x₃ = 4,5

Прямой ход закончен, исходная матрица коэффициентов приведена к верхне-треугольному виду. В третьем уравнении системы (2.4) присутствует только неизвестное x₃. Теперь легко осуществить обратный ход, т.е. вычислить неизвестные. Из третьего уравнения вычислим x₃, далее его значение подставим во второе уравнение и вычислим x₂, а затем из первого уравнения найдём x₁. Получим ответ: x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 3.Задача решена.

Программа для решения СЛАУ методом Гаусса может иметь такой вид:

program SLAU1; {Решение системы линейных уравнений методом Гаусса}