Примеры решения задач 1 страница

Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A+Bt+Ct³, где A=4 м, B=2 м/с, С=-0,5 м/с³. Для момента времени t₁=2 с определить:

1) координату x₁ точки, 2) мгновенную скорость v₁, 3) мгновенное ускорение a₁.

Решение. 1. Координату точки, для которой известно кинематическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени t₁:

x=A+Bt+Ct³.

Подставим в это выражение значения A, В, С, t₁ и произведем вычисления:

x₁=(4+4 - 0,5· 2³) м=4 м.

2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, продифференцировав координату х по времени:

Тогда в заданный момент времени t₁ мгновенная скорость v₁=B+3Ct₁².

Подставим сюда значения В, С, t₁ и произведем вычисления: v₁=-4 м/с.

Знак минус указывает на то, что в момент времени t₁=2 с точка движется в отрицательном направлении координатной оси.

3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени найдем, взяв вторую производную от координаты х по времени:

Мгновенное ускорение в заданный момент времени t₁ равно a₁=6Ct₁. Подставим значения С, t₁и произведем вычисления:

a₁=(-6 ·0,5· 2) м/с= - 6 м/с.

Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени.

Пример 2. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R=50 м. Уравнение движения автомобиля S(t)=A+Bt+Ct², где A=10 м, B=10 м/с, С= – 0,5 м/с². Найти: 1) скорость v автомобиля, его тангенциальное , нормальное а_n. и полное а ускорения в момент времени t=5 с; 2) длину пути l и модуль перемещения | | автомобиля за интервал времени =10 с, отсчитанный с момента начала движения.

Решение. 1. Зная уравнение движения, найдем скорость, взяв первую производную от координаты по времени:

.

Подставим в это выражение значения В, С, t и произведем вычисления:

v =5 м/с.

Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: Подставив значение С, получим = ‑ 1 м/с².

Нормальное ускорение определяется по формуле . Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления:

a_n=0,5 м/с².

Полное ускорение является геометрической суммой ускорений и : . Модуль ускорения . Подставив в это выражение найденные значения а и а_n получим

а=1,12 м/с².

2. Чтобы определить путь l, пройденный автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути l равна изменению криволинейной координаты т. е.

l= , или .

Подставим в полученное выражение значения В, С, и произведем вычисления:

l=50 м.

Модуль перемещения, как это видно из рис. 1, равен | |=2Rsin( /2),

Подставим сюда значения R, l ипроизведем вычисления:

| |= 47,9м.

Пример 3. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой ₀=10 с^-1, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой = 6 с^-1. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N=50 оборотов.

Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной и конечной угловыми скоростями соотношением , откуда Но так как то

Подставив значения , , ₀, N и вычислив, получим:

=3,14(6²-10²)/50 рад/с²= – 4,02 рад/с².

Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно. Определим продолжительность торможения, используя формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью вращения и временем t: . По условиям задачи, угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать , тогда ,

Откуда:

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

Пример 4. К концам однородного стержня приложены две противоположно направленные силы: F₁=40H и F₂=100 H (рис. 2, a).

Определить силу натяжения Т стержня в поперечном сечении, которое делит стержень на две части в отношении 1 : 2.

Решение. Если бы силы F₁и F₂ были равны между собой, то сила натяжения в любом сечении стержня была бы одинаковой и равной силам, приложенным к концам стержня. Стержень в этом случае находился бы в покое. Но так как сумма сил, действующих на стержень, отлична от нуля, то стержень будет двигаться с ускорением, величина и направление которого определяются по второму закону Ньютона: , где т – масса стержня. Так как обе силы действуют вдоль прямой, то геометрическую сумму можно заменить алгебраической:

. (1)

При ускоренном движении стержня силы натяжения в разных сечениях различны. Для определения этих сил применим следующий прием: разделим стержень на две части в интересующем нас сечении и отбросим одну из них, например левую. Действие левой части на правую заменим силой натяжения Т (рис. 2, б). В результате действия разности сил F₂ – Т оставшаяся правая часть стержня массой m₁ должна двигаться с ускорением равным по величине и направлению прежнему ускорению, выражаемому формулой (1). Так как стержень однородный, то m₁=m/3 и, следовательно,

. (2)

Приравнивая правые части равенства (1) и (2) и выражая из полученного равенства силу натяжения Т, находим

T=F₂ – (F₂ – F₁)/3.

Подставив значения F₂ и F₁, получим

Т =80 Н.

Пример 5. В лифте на пружинных весах находится тело массой т=10 кг (рис. 3, а). Лифт движется с ускорением а=2 м/с². Определить показания весов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено: 1) вертикально вверх, 2) вертикально вниз.

Решение. Определить показания весов — это значит найти вес телаG, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта сила, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости N (силе реакции опоры), с которой пружина через посредство прикрепленной к ней чашки весов действует на тело, т. е.

или G=N. (1) Следовательно, задача определения показания весов сводится к нахождению реакции опоры N.

Задачу можно решать как в инерциальной, так и неинерциальной системе отсчета.

Решение в инерциальной системе отсчета. На тело действуют две силы: сила тяжести и сила .

Направим ось z вертикально вверх и спроецируем на нее все силы, действующие на тело. Индекс z у проекции сил опустим, так как проекции и сами силы совпадают по величине. Направление сил учтем знаком плюс или минус. Напишем уравнение движения:

, откуда . (2)

Из равенств (1) и (2) следует:

.

При вычислении показания весов следует учесть знак ускорения:

1) ускорение направлено вертикально вверх (a>0), тогда:

G₁=10(9,81+2)H=118 Н;

2) ускорение направлено вертикально вниз (a<0), тогда

G₂==10(9,81 – 2) Н=78 Н.

Отметим, что ни модуль, ни направление скорости лифта не влияют на показания весов. Существенны лишь величина и направление ускорения.

Решение в неинерциальной системе отсчета, т. е. в системе, движущейся ускоренно вместе с лифтом. В этой системе отсчета законы Ньютона не выполняются. Однако, если к телу в соответствии с принципом Даламбера дополнительно к действующим на него силам приложить силу инерции:

,

где а — ускорение системы отсчета, то с учетом этой силы законы Ньютона будут справедливы.

В этом случае на тело будут действовать три силы: сила тяжести , сила упругости и сила инерции ; (рис. 3, б). Под действием этих сил тело в данной неинерциальной системе отсчета покоится. Это значит, что вместо уравнений динамики (законов Ньютона) можно воспользоваться законами статики. Если тело под действием системы сходящихся сил покоится, то геометрическая сумма этих сил равна нулю. В данном случае это приводит к равенству:

.

Спроецируем все силы на ось z и напишем соответствующее равенство для проекций этих сил (индекс z опустим):

N–P–ma=0,

откуда сила реакции опоры:

N=P+ma=m(g+a). (3)

Из равенств (1) и (3) следует

G=m(g+a),

что совпадает с результатом, полученным при решении в инерциальной системе отсчета.

Пример 6. При падении тела с большой высоты его скорость v_уст установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время , в течение которого, начиная от момента начала падения, скорость становится равной 1/2 v_уст. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости тела.

Решение. На падающее тело действуют две силы (рис. 4, а):

сила тяжести и сила сопротивления воздуха .

Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорциональна скорости тела и противоположна ей по направлению:

, (1)

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и от свойств окружающей среды.

Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньютона в векторной форме: . Заменив согласно (1), получим:

Спроецируем все векторные величины на вертикально направленную ось и напишем уравнение для проекций:

После разделения переменных получим:

.

Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от нуля до (искомое время) скорость возрастает от нуля до 1/2v_уст (рис. 4, б):

Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства:

и найдем из полученного выражения искомое время:

(2)

Входящий сюда коэффициент пропорциональности k определим из следующих соображений. При установившемся движении (скорость постоянна) алгебраическая сумма проекций (на ось y) сил, действующих на тело, равна нулю, т. е. mg–kv_уст=0, откуда k=mg/v_уст. Подставим найденное значение k в формулу (2):

После сокращений и упрощений получим:

Проверка размерности в данном случае не обязательна, так как результат очевиден. Подставив в эту формулу значения v_уст, g, ln2 и произведя вычисления, получим:

=5,66 с.

Пример 7. Шар массой m=0,3 кг, двигаясь со скоростью v=10 м/с, упруго ударяется о гладкую неподвижную стенку так, что скорость его направлена под углом =30° к нормали. Определить импульс р, получаемый стенкой.

Решение. Сначала проанализируем условие задачи. Стенка неподвижна, поэтому система отсчета, связанная с ней, будет инерциальной. Удар о стенку упругий; следовательно, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Из него, учитывая, что масса стенки много больше массы шара, следует равенство модулей скоростей шара | | до и | |после удара.

Покажем, что угол ' отражения шара от стенки равен углу падения шара. Спроецируем векторы и на координатные оси Ох и Оу (рис. 5). Так как стенка гладкая, то . Учитывая, кроме того, что | |=| |, получим а отсюда следует равенство углов падения и отражения ( '= ).

Для определения импульса, полученного стенкой, воспользуемся законом сохранения импульса. Для нашего случая этот закон можно записать в виде:

где – импульсы шара до и после удара . Отсюда импульс, полученный стенкой,

Из рис. 6 видно, что вектор сонаправлен с осью Ох и его модуль . Подставив сюда выражение импульса p₁=mv, получим

.

Произведем вычисления:

.

Пример 8. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь.

Решение. 1-й способ. Для простоты решения будем считать, что человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно. Поэтому перемещение лодки относительно берега определим по формуле:

s=vt (1)

где v — скорость лодки относительно берега; t — время движения человека и лодки. Направление перемещения человека примем за положительное.

Скорость v лодки найдем, пользуясь законом сохранения импульса (количества движения). Так как, по условию задачи, система человек — лодка в начальный момент была относительно берега в покое, то по закону сохранения импульса получим Mv – mu=0, где и — скорость человека относительно берега; знак минус указывает на то, что скорости человека и лодки по направлению противоположны. Отсюда v=mu/M.

Время t движения лодки равно времени перемещения человека по лодке, т. е. t=s₁/u=(L—s)/u, где s₁ — перемещение человека относительно берега.

Подставив полученные выражения v и t в формулу (1), найдем:

откуда:

s=mL/(m+M).

Заметим, что предположение о равномерности движения человека не является обязательным. В приведенном ниже более общем способе решения задачи такое предположение не используется.

2-й способ. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра инерции системы. Применяя это следствие к системе человек — лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем расстоянии от берега.

Пусть центр масс системы человек — лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку C₁ лодки (рис. 7), а после перемещения лодки — через другую ее точку С₂. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемещению лодки относительно вертикали. А это последнее легко определить по перемещению центра масс О лодки. Как видно из рис. 7, в начальный момент точка О находится слева от вертикали на расстоянии a₁, а после перехода человека — на расстоянии a₂ справа от нее. Следовательно, искомое перемещение лодки s=a₁+a₂. (2)

Для определения a₁ и a₂ воспользуемся тем, что относительно центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки C₁ имеем Mga₁=mg(l – a₁), где l — первоначальное расстояние человека от центра тяжести лодки. Отсюда получим а₁=тl/(М+т). Для точки С₂ имеем Mga₂=mg(L–a₂–l), откуда a₂=m(L–l)/(М+т).

Подставив выражения a₁ и а₂ в формулу (2), получим:

s=mL/(M+m),

что совпадает с результатом, полученным первым способом.

Пример 9. Два шара массами m₁=2,5 кг и m₂=1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями v₁=6 м/с и v₂=2 м/с. Определить: 1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергии шаров W_K1 до и W_K2 после удара; 3) долю кинетической энергии шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по закону сохранения импульса

,

где: ; – импульсы первого и второго шаров до удара; ; – импульсы первого и второго шаров после удара.

В проекции на направление движения первого шара до удара, закон сохранения импульса примет вид:

m₁v₁–т₂v₂=(т₁+m₂)и,

откуда:

u=(m₁v₁–т₂v₂)/(т₁+m₂).

u=(2,5· 6–1,5· 2)/(2,5+1,5) м/с=3 м/с.

2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по формулам:

W_K1 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2; W_K2 = (m₁ + т₂)u²/2.

Произведя вычисления по этим формулам, получим:

W_K1=(2,5·6²/2+1,5·2²/2) Дж=48 Дж;

W_K2 =(2,5+1,5) З²/2 Дж=18 Дж.