Ускорение

При прямолинейном движении быстрота изменения величины скорости характеризуется ускорением а – изменением величины скорости за единицу времени.

В случае произвольного криволинейного движения вектор скорости может меняться по величине и по направлению.

Быстрота изменения вектора скорости в этом случае характеризуется вектором ускорения , расчленяемым на две составляющие, определяющие в отдельности быстроту изменения скорости по величине и быстроту изменения скорости по направлению.

Рисунок 3

Причем рассматриваем случаи, когда скорость в точке В больше по величине. Перенесем вектор параллельно самому себе в точку А. Соединяя конец вектора с концом вектора , получаем вектор = - .

Это геометрическое приращение вектора за время .

Тогда а_ср= . Это отношение называется средним ускорением. Переходя к пределу, выражают мгновенное ускорение:

а = = . (7)

Откладывая на перенесенном векторе отрезок, численно равный длине вектора , видим, что вектор может быть представлен как геометрическая сумма двух векторов:

= - , (8)

где - численно равен изменению величины скорости за : = - .

Если величина скорости не меняется, то =0, =0.

характеризует изменение направления вектора скорости за время . Он направлен в сторону вогнутости траектории. В выражение (7) поставим значение из (8):

= = + = + . (9)

Вектор = также направлен по касательной к траектории, а модуль этого вектора равен а_k = - тангенциальное ускорение.

Для определения второй составляющей в уравнении (9) восстановим перпендикуляры к касательным в точках А и В до пересечения их в точке О. Малая дуга S = АВ есть отрезок окружности с центром в точке О и радиусом ОА=ОВ=R.

Треугольники АОВ и САD подобны, т.к. имеют одинаковые углы при вершине (углы со взаимно перпендикулярными сторонами).

Тогда или = , = . Делим на : = .

Переходя к пределу :

а_n= = = = (10)

Таким образом, численное значение нормального ускорения в данной точке равно квадрату скорости, деленному на радиус кривизны в той же точке:

а_n=

Вектор ускорения есть векторная сумма нормального и тангенсального ускорения (уравнение 9).

= = + = + .