Движение твердого тела

Твёрдым телом называется совокупность материальных точек, расстояние между которыми постоянно. Поэтому его движение сводится к движению составляющих точек. Движение каждой точки описывается тремя функциями (координатами). Если твёрдое тело состоит из N точек, то его движение должно описываться 3N координатами. Однако нет необходимости использовать три функции, так как большинство из них взаимно зависимы. Число независимых функций, которыми определяется движение некоторой совокупности материальных точек, называется числом её степеней свободы. Движение материальной точки описывается тремя параметрами, и поэтому число её степеней свободы равно трём.

Если две материальные точки жёстко связаны между собой некоторым стержнем неизменной длины l , то независимых координат останется пять, они описывают движение рассматриваемой системы.

Чтобы найти положение твёрдого тела, необходимо задать шесть независимых параметров, то есть число степеней свободы твёрдого тела i = 6.

Эти шесть независимых параметров можно задать различным образом.

Удобно использовать три параметра для указания положения какой-либо точки твёрдого тела, а оставшимися тремя параметрами описывать положение твёрдого тела, закреплённого в этой точке.

Кинематика движения точки была уже проанализирована, а движение твёрдого тела, закреплённого в точке, рассматривается относительно системы координат, жёстко связанной с твёрдым телом.

Поступательным движением твёрдого тела называется такое, при котором все его точки движутся по одинаковым траекториям. Это означает, что скорости всех точек тела в любой момент времени одинаковы.

Любая прямая, проведённая между какими-либо точками тела, перемещается параллельно самой себе.

Это движение полностью характеризуется заданием движения какой- либо одной точки тела, то есть поступательно движущееся тело имеет три степени свободы. В кинематическом отношении это движение полностью эквивалентно движению материальной точки.

Плоское движение твёрдого тела наблюдается тогда, когда траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях. Движение тела в этом случае полностью определяется движением одного из его сечений, в какой-либо из параллельных плоскостей, а положение сечения – положением двух точек этого сечения.

Положение двух точек на плоскости характеризуется четырьмя координатами. Между этими параметрами имеется одно соотношение, выражающее постоянство расстояний между двумя точками. Следовательно, имеются лишь три независимых параметра, то есть число степеней свободы равно трём.

Вращательное движение – это такое, при котором две точки тела остаются всё время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки твёрдого тела, лежащие на оси вращения, неподвижны.

Другие точки твёрдого тела движутся по окружности в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Если начало отсчёта радиуса – вектора расположить на оси вращения, то скорость любой точки вращающегося твёрдого тела определится так:

= , (16)

где - - линейная скорость;

- угловая скорость.

Рисунок 5

Если расстояние точки твёрдого тела от оси вращения равно R (рисунок 5), то для нормального, тангенциального и полного ускорения имеем следующие соотношения:

(17)

В векторной форме ускорение точек твёрдого тела, ось вращения которого не изменяет направления в пространстве, определяется, как и в случае движения точки по окружности, то есть по формуле

= + (18)