Задание 16. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.

16.1Найти область определения функции и изобразить ее:

В-1. В-2. В-3. В-4.

В-5. В-6. В-7. В-8.

В-9. В-10.

16.2Дана функция z = f(x;y). Найти: , , , , :

В-1.z = В-2.z = В-3.z = В-4.z = В-5.z =

В-6.z = В-7.z = В-8.z = В-9.z = В-10.z =

16.3.Дана функция z = f(x;y), точка М( х ; y ) и вектор = {х ;у }. Найти:

а) производную в точке М по направлению вектора ; б) grad z в точке М.

В-1. z = у² + х² +2xy- у; М( 1; 1) и вектор = {2;-1}. В-2. z = x –y + 3y² + x²; М( 1; 2) и вектор = {5;-12}.

В-3. z = x - y³ – 3xy; М( 1; 1) и вектор = {2;1}. В-4.z = xy – x²y – xy²; М( -1; 2) и вектор = {4;-3}.

В-5. z = y² – x² + xy - 2x - 6y; М( 2; 3) и вектор = {4;-3}. В-6.z = 6xy + 5x² ; М( 2; 1) и вектор = {1;2}.

В-7.z = ln (5x² + 3y²); М( 1; 1) и вектор = {3;2}. В-8.z = у² - х² +xy; М( 1; 1) и вектор = {2;-1}.

В-9.z = x +8y³ – 6xy + 1; М( 1; 2) и вектор = {5;-12}. В-10.z = ln (3x² + 4y²); М( 1; 3) и вектор = {2;-1}

16.4.Найти точки экстремума функции:

В-1.f(x) = x² +xy + y² + x +2y – 4 В-2.f(x) =-3 x² - 2xy - 3 y² - 12x +12y – 25

В-3.f(x) =- 2 x² - xy - 2 y² - 2 x - 8y -54 В-4.f(x) = 2x² + 2xy +2 y² +2 x + 4y -3

В-5.f(x) = - x² - 2xy - 3 y² - 4 x -4y + 3В-6.f(x) = 3x² + 3xy +3 y² +6 x + 3y + 1

В-7.f(x) =- 3x² - 2xy - y² - 4 x - 4y + 3 В-8.f(x) = - x² - 2xy - 3y² - 6x - 6y + 5

В-9. f(x) = 2x² + 2xy + 2y² + 6x + 6y + 1 В-10. f(x) = - x² - xy - y² - 3x - 3y + 2

16.4.Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке С(х ;y ;z ):

В-1.z = xy – x²y – xy² , С(1;2;z ) В-2.z = x –y + 3y² + x² ; С(-1;2;z )

В-3.z = y² + x² - 9xy + 27, С(2;1;z ) В-4.z = 3x + 6y –xy + y² –x², С(1;-1;z )

В-5.z = 2xy + 3y² – 5x; С(3;4;z ) В-6.z = x - y +5x +4y ; С(2;3;z )

В-7.z = x + y +2x +y - 1; С(2;4;z ) В-8.z = xy + 2y - 2x; С(1;2;z )

В-9.z = x + 3xy - 6y; С(1;3;z ) В-10.z = x - y +6x +3y; С(2;3;z )

Задание 17. Дифференциальные уравнения.

17.1. Найти общее решение линейного уравнения первого порядка:

В.1 а) ; б) . В.2 а) ; б)

В.3 а) ; б) . В.4 а) б)

В.5 а) ; б) . В.6 а) б)

В.7 а) ; б) . В.8 а) б)

В.9 а) ; б) . В.10 а) б)

17.2.Найти общее решение:

В.1а) у²+4у¢ -12у = 0 б) у² -10у¢+25у =0 в) у² -2у¢+5у = 0

В.2а) у² -7у¢ = 0 б) у²+16у¢+64у=0 в) у² -8у¢+ 25у =0

В.3а)у²+5у¢+6у =0 б) у²+14у¢+49у =0 в) у²+4у¢+7у = 0

В.4а)у² -4у = 0 б) у²+4у¢+4у =0 в) у²+2у¢+5у = 0

В.5а)у² -7у¢ -8у = 0 б) у²+2у¢+2у = 0 в)у²+6у¢+9у = 0

В.6а)у²-у¢ -6у =0 б) у² -18у¢+81у =0 в) у²+2у¢+2у = 0

В.7а) у² -5у¢ = 0 б) у²-16у¢+64у=0 в) у² -8у¢+ 25у =0

В.8а)у²-4у¢ -12у = 0 б) у² +10у¢+25у =0 в) у² -2у¢+5у = 0

В.9а) у² +7у¢ -8у = 0 б) у²+2у¢+2у = 0 в) у²+6у¢+9у = 0

В.10а) у²+у¢ -6у =0 б) у² +18у¢+81у =0 в) у²+2у¢+2у = 0

17.3.Найти частное решение:

В.1 у² -3у¢+2у = 0, если у = 2, у¢ = 3,при х = 0 В.2у²+у¢ -6у = 0, если у = 3, у¢ = 1 при х = 0

В.3у² -2у¢ -8у = 0, если у=4, у¢= 10, при х =0 В.4у² -3у¢ = 0, если у =1, у¢= -1, при х = 0

В.5у²+у¢ -6у = 0, если у = 0, у¢ = -10 при х=0 В.6у² -3у¢+2у = 0, если у =1, у¢=3 при х =0

В.7у²+2у¢ -8у = 0, если у =4, у¢= -4 при х =0 В.8у² +3у¢ = 0, если у =1, у¢= -1, при х = 0

В.9у²- у¢ -6у = 0, если у = 0, у¢ = -10 при х=0 В.10у² -3у¢+2у = 0, если у =2, у¢=3 при х =0