Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Читайте также:
  1. Foreign Office – структура, функции…..
  2. III. Вегетативные функции НС.
  3. III. Функции полномочного представителя
  4. Internet, его функции. Web-броузеры. Поиск информации в Internet.
  5. SQL-функции
  6. Автоматизированное рабочее место. Его состав, функции, аппаратное и программное обеспечение.
  7. Агрегирующие функции языка SQL
  8. Адгезивные молекулы и их основные функции
  9. Акцизы,их роль и функции в налоговой системе. Понятие налогоплательщиков для целей исчесления акцизов.Понятие подакцихных товаров.
  10. Анатомия ствола головного мозга (структуры и функции).

Значение f(x0) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции у = f(x), если в некоторой окрестности точки x0 для любого x выполняется условие f(x0) > f(x) (f(x0)<f(x)). Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума или минимума – точками экстремуме

Теорема(необходимое условие локального экстремума). Если функция у = f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то производная f'(x) в этой точке обращается в нуль или не существует.

Точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует, называются критическими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть х0 – критическая точка функции у = f(x); если при переходе через точку х0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке х0 имеет локальный мак (локальный минимум); если же производная f'(x) не меняет знак в окрестности точки х0, то данная функция не имеет в точке х0 локального экстремума.

Выпуклость и вогнутость графика, точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым в промежутке (a, b), если все точки графика лежат ниже любой ее касательной на этом промежутке.

График функции называется вогнутым, если его точки лежат выше касательной.

Достаточный признак выпуклости и вогнутости графика функции. Если во всех точках промежутка (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, т.е. f¢¢(x)<0, то график y=f(x) на этом интервале выпуклый; если f¢¢(x)>0, то график функции на этом интервале вогнутый.

Точки, в которых график функции переходит с одной стороны своей касательной в этой точке на другую ее сторону (т.е. пересекает свою касательную), называются точками перегиба. Точка перегиба отделяет выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой.

Необходимый признак точки перегиба: в точке перегиба вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Достаточный признак того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Пусть кривая определяется уравнением y=f(х). Если f¢¢(х0)=0 или f¢¢(х0) не существует и при переходе через значение х=х0 производная f¢¢(х) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=х0 есть точка перегиба.



Общий план исследования функции

Наиболее наглядное представление о ходе изменения функции дает ее график. Поэтому построение графика должно быть заключительным этапом исследования функции, в котором должны быть использованы все результаты ее исследования. Исследование функции рекомендуется вести в определенной последовательности:

1) найти область определения функции;

2) определить симметрию графика функции (четность, нечетность функции), определить точки пересечения графика функции с осями координат;

3) определить точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты графика;

4) проверить наличие горизонтальной или наклонной асимптоты;

5) найти точки максимума и минимума, максимальные и минимальные значения функции, интервалы возрастания и убывания функции;

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости графика, точки перегиба.

7) Схематично построить график функции, найти область значений функции.


Дата добавления: 2015-02-10; просмотров: 28; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ | Свойства неопределенного интеграла.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2017 год. (0.012 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты