Виды граничных условий

Рассмотренный выше метод расчета перемещений при изгибе называется методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки МНИ ДУУЛБ.

Для его применения необходимо:

1. Выбрать систему координат (в крайнем сечении балки)

2. Для каждого силового участка балки составляется общее уравнение моментов, которое подставляется в основное ДУУЛБ.

3. Решается ДУУЛБ путем двойного интегрирования и определяется произвольная постоянная интегрирования из граничных условий.

4. В полученное уравнение упругой линии балки подставляются поочередно абсциссы искомых точек и определяются прогибы. Аналогично находятся углы поворотов с использованием дифференциальной зависимости (18.1).

МНИ обладает существенным недостатком, который заключается в том, что для решения балок с большим количеством силовых участков необходимо определить большое количество произвольных постоянных интегрирования (например, для n участков будет 2n таковых), поэтому данный метод целесообразно использовать только для балок, имеющих один или два участка. Для устранения названного недостатка предлагается более совершенный метод, основанный на ДУУЛБ и более рациональном его решении.

§6 Метод начальных параметров.

Универсальное уравнение упругой линии балки (УУУЛБ).

В отличие от предыдущего метода в предлагаемом методе ДУУЛБ составляется таким образом, что независимо от количества силовых участков балки приходится находить только две произвольных постоянных интегрирования – прогиб и угол поворота в начале координат (y₀, θ₀). Это достигается путем применения специальных правил при составлении уравнения моментов или уравнений прогибов. В этом случае все решение сводится к составлению УУУЛБ применительно к заданной расчетной схеме балки.

Общий вид УУУЛБ будет следующим:

После дифференцирования (18.13) получим универсальное уравнение углов поворота балки УУУЛБ.

где y₀, θ₀ – геометрические начальные параметры, т.е. прогиб и угол поворота в начале координат, определяются по граничным условиям;

М₀, Q₀ – статические начальные параметры, т.е. изгибающий момент и поперечная сила в начале координат; они определяются по условиям нагружения или по уравнениям равновесия.

M_i, F_i, q_i – момент, сосредоточенная сила и распределенная нагрузка в i^том сечении балки соответственно. Они включаются в уравнение со своими знаками в соответствии с «правилом зонтика» для изгибающего момента.

k_i – величина, характеризующая неравномерно распределенную нагрузку, например, треугольную или трапециевидную.

a_i, b_i, c_i, d_i – абсциссы сечений, где действуют соответствующие внешние нагрузки (M_i, F_i, q_i, c_i)

1) Выбрать начало координат в одном из крайних сечений балки (лучше в левом) и считать его общим для всех участков.

2) Для последнего силового участка балки составляется универсальное уравнение упругой линии балки УУУЛБ.

Для составления выражения для распределенной нагрузки её предварительно продолжают до конца (последнего) сечения и вводят дополнительную компенсирующую нагрузку обратного направления.

3) Определяются начальные параметры УУУЛБ.

Геометрические начальные параметры.

Статические начальные параметры.

4) Подставляются все найденные начальные параметры в исходное УУУЛБ и путем дифференцирования получается универсальное уравнение углов поворота балки УУУЛБ.

В этом же пункте определяются искомые перемещения, для чего в соответствующее уравнение подставляется абсцисса искомой точки и отбрасываются слагаемые, характеризующие внешние нагрузки, которые находятся за пределами рассматриваемого участка.

Рассмотренный метод начальных параметров является достаточно простым и универсальным, но имеет следующие недостатки.

1) Он не применим для балок с ломаной осью, рамным систем и кривых брусьев.

2) Не позволяет определить перемещение в произвольных направлениях, кроме вертикального.

Для устранения этих недостатков в курсе сопротивления материалов широко применяются так называемые энергетические способы, основанные на известном законе сохранения энергии.

§7 Потенциальная энергия упругой деформации (ПЭУД)

в общем случае нагружения бруса. Теорема Кастильяно.

На основании закона сохранения энергии работа внешних сил на перемещениях точек системы равна потенциальной энергии упругой деформации

Основываясь на положениях этого закона можно зная величину энергии, накопленной брусом, найти перемещение ее точек при известных внешних нагрузках. Получим общую зависимость для ПЭУД произвольного бруса, находящегося под воздействием разнообразных внешних нагрузок, для этого составим сумму работ, совершаемых шестью внутренними силовыми факторами.

Учитывая известное выражение работ для простых деформаций получим следующее выражение

k_x, k_y – безразмерные коэффициенты, характеризующие форму сечения бруса при сдвиге.

Для нахождения перемещений с помощью ПЭУД применяется так называемая теорема Кастильяно:

Обобщенные перемещения в точке приложения некоторой обобщенной нагрузки представляют собой частную производную потенциальной энергии по заданной обобщенной нагрузке.

где δ_k – обобщенное перемещение в точке К, где приложена внешняя обобщенная нагрузка, по ее направлению.

F_K – обобщенная нагрузка, действующая в точке К.

Под обобщенным перемещением понимается перемещение, вызываемое соответствующей обобщенной нагрузкой. В частности,

§8 Метод для нахождения перемещений в упругих системах.

Недостатки теоремы Кастильяно можно устранить, если использовать прием, предложенный Мором-Максвеллом. Этот метод основан на применении так называемой фиктивной обобщенной нагрузки Φ.

Суть метода заключается в следующем:

1) В заданной точке системы прикладывается соответствующая обобщенная параметром фиктивная нагрузка, которая условно принимается равной единице.

Направление приложения фиктивной нагрузки соответствует искомому направлению. Для прогиба удобно единичную силу направлять снизу вверх согласно положительному направлению прогиба (см. правило знаков для прогиба). Единичный момент направляется против часовой стрелки в соответствии с положительным направлением угла поворота.

2) Определяется потенциальная энергия упругой деформации всей системы, которая подставляется в зависимость , выражающую теорему Кастильяно и производится расчет частной производной по данной фиктивной нагрузке.

В полученном выражении исключается фиктивная нагрузка, т.к. ее на самом деле нет.

Для удобства практического расчета все преобразования рассмотренные выше исключаются и расчет перемещений выполняется по формуле, называемой интегралом Мора (запишем применительно к деформации изгиба).

где – изгибающий момент от действия единичной фиктивной нагрузки в i^том сечении системы.

– изгибающий момент от действия внешней нагрузки для i^того сечения.

Рассмотрим следующий пример (рис.6.25).

y_B – ?

Выбирается вспомога­тельная схема, которая загружается соответству­ющей единичной нагрузкой. Чтобы взять вспомогатель­ную схему, надо на исходной схеме отбросить все внешние нагрузки.

Для исходной и вспомо­гательной схем составляются общие выражения изгибающих моментов по всем участкам, которые подставляются в интеграл Мора.

Метод Мора является самым сильным по возможности расчета перемещений (его можно применить для любой схемы), однако его недостатком является высокая трудоемкость при расчете систем с большим количеством силовых участков.

Для сокращения сложности таких расчетов интеграл Мора обычно заменяют операцией умножения согласно способа Верещагина (1924 г.).

§9 Способ Верещагина и его применение

Предлагаемый способ является графо-аналитическим способом решения интеграла Мора, который заключается в «перемножении» эпюр изгибающих моментов по силовым участкам заданной системы. Такое решение возможно благодаря тому, что для систем, имеющих прямолинейные участки эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки имеет линейные очертания (прямоугольник, треугольник, трапеция).

Согласно способа Верещагина искомое перемещение представляет собой произведение площади грузовой эпюры на ординату единичной эпюры, которая располагается под центром тяжести грузовой эпюры на данном участке.

где ω_i – площадь грузовой эпюры на i^том участке.

– ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой на i^том участке.

Рассмотрим пример (рис.6.28)

θ_B – ?

При использовании способа Верещагина для упрощения расчетов можно учитывать следующие рекомендации.

1) При перемножении эпюр, имеющих линейные очертания можно использовать площадь одной из них, а ординату другой в прямом и обратном порядке.

2) Если перемножаемые эпюры имеют сложную форму, то можно их разбивать на простые части и перемножать по отдельности.

3) В некоторых случаях сложные эпюры удобно перемножать, используя прием расслоения эпюр. В этом случае в пределах данного участка строятся эпюры от каждой нагрузки в отдельности, которые перемножаются поочередно с единичной эпюрой.

4) При перемножении эпюры, имеющей форму скрученной трапеции, ее целесообразно дополнить до двух треугольников, которые затем перемножаются по отдельности с другой эпюрой.

5) Когда обе перемножаемые эпюры имеют сложную форму можно использовать так называемую формулу Симпсона.

Способ Верещагина является достаточно удобным и простым для расчета перемещений в упругих системах при любых видах деформаций. Однако его нельзя применить для систем, имеющих криволинейные участки.

§10 Статически неопределимые системы при изгибе.

Каноническое уравнение метода сил (КУМС).

Статически неопределимая система (СНС) при изгибе обладает теми же свойствами, что СНС при растяжении-сжатии и кручении, однако имеют следующую особенность.

Степень неопределимости в таких системах может быть образована как внешними, так и внутренними признаками построения СНС.

Система неопределима внешним образом, если её элементы имеют ограничения по перемещению в пространстве. Такие ограничения накладываются опорными связями и в этом случае степень СНС по внешним признакам находится по известной формуле

где R – число неизвестных реакций опор СНС,

У – число уравнений статики.

Степень СНС образована внутренними признаками, если они накладывают ограничения на относительные перемещения точек системы по отношению друг к другу. К ним относятся дополнительные элементы, шарниры, узлы и прочие геометрические факторы.

В этом случае степень СНС по внутренним признакам находится по следующей формуле

где K – число замкнутых контуров СНС (например, рамок),

У – число шарниров, врезанных в элемент СНС в пересчете на простые шарниры.

Сложный шарнир, в котором сходятся более 3^х стержней можно заменить n–1 простыми шарнирами (n – число стержней, сходящихся в сложном шарнире).

Таким образом, степень СНС можно определить сложив зависимости (21.1) и (21.2).

Для решения СНС при изгибе в курсе сопротивления материалов применяются метод сил, метод перемещений и комбинированный метод. Наиболее часто применяется метод сил, в частности прием сравнения перемещений, канонические уравнения метода сил (КУМС) и уравнения трех моментов.

Удобно и математически относительно несложно провести решение СНС с применением КУМС.

Для каждой лишней опоры составляется уравнение деформаций в виде суммы перемещений, вызванных действиями всех лишних связей и внешних нагрузок, причем эти деформации на опорах должны равняться нулю. Для удобства записи и решения эти уравнения составляются по определенному правилу (или канону).

В общем случае КУМС записывается так:

где δ_ij – перемещение в i^той точке под действием единичной силы, приложенной к j^той точке.

δ₁₁, δ₂₂, δ₃₃, ... δ_nn – главные коэффициенты КУМС, представляющие собой единичные перемещения в i^той точке под действием единичной силы, приложенной в той же точке. Они определяются по способу Верещагина путем перемножения эпюр от единичных сил «самих на себя».

δ₁₂, δ₁₃, ... δ_ij – побочные коэффициенты, представляющие собой единичные перемещения, определяемые по способу Верещагина путем перемножения единичных эпюр между собой.

Δ_1F, Δ_2F, ... Δ_nF – грузовое перемещение, определяемое как перемещение в i^той точке под действием системы внешних нагрузок.

По способу Верещагина оно находится путем перемножения грузовой эпюры момента на единичную эпюру под действием i^той единичной силы.

Определив все единичные и грузовые перемещения КУМС, решается данная система и определяются неизвестные усилия X₁; X₂; X₃ ... X_i ... X_n.

По завершении раскрытия неопределимости СНС строятся необходимые эпюры (для рамы – N, Q и M). и выполняются две проверки – статическая и деформационная.

Статическая проверка заключается в проверке равновесия элементов или узлов системы (см. задачу № 12 РПР-2).

Деформационная проверка сводится к расчету перемещений тех точек системы, где действуют лишние связи (X_i). Обычно проверяется равенство нулю перемещений в опорах системы. Для этого необходимо по способу Верещагина перемножить конечную эпюру изгибающих моментов с единичной эпюрой, построенной для i^той лишней связи.

В некоторых случаях при решении СНС можно уменьшить количество перемножений эпюр, если использовать эффект симметрии геометрического построения или силового нагружения системы (рис.6.35).

В следующем случае система рассекается по оси симметрии и в качестве лишних связей выбираются внутренние силовые факторы в проведенном сечении.

Тогда единичные эпюры от соответствующих внутренних силовых факторов будут иметь либо симметричную, либо кососимметричную формы

Следовательно, при перемножении симметричной эпюры на кососимметричную получаем перемещение равное нулю.