Оптимальная фильтрация

Согласование динамических свойств средств измерений с характером входных воздействий важно и при измерениях по шкале порядка. К последним, как уже отмечалось, относятся измерения с помощью индикаторов, сравнивающих неизвест­ный размер измеряемой величины с нулевым.

Согласно математической модели измерения по шкале порядка (8), сравнение неизвестного размера Q₁ с нулевым Q₂ = 0 в условиях аддитивных случайных воздействий h, называемых помехами, сводится к решению вопроса: присут­ствует в левой части выражения (8) слагаемоеQ₁ = Q (t), или оно равно нулю, и выражение (8) является тождеством h(t) º h(t) ?

Так как решение принимается на основе анализа выходного сигнала Х (t), то задача ставится так: присутст­вует в

полезный сигнал X(Q) являющийся откликом на Q (t), или выходной сигнал является результатом воздействия на средст­во измерений аддитивных помех случайного характера N (t) ? Эта задача называетсязадачей обнаружения полезного сигнала на фоне аддитивных помех.

Средство измерений, решающее задачу обнаружения, с одной стороны, должно максимально способствовать тому, чтобы полезный сигнал, если он есть, как можно четче про­явился бы на выходе; с другой стороны, решение о его на­личии или отсутствии должно приниматься с достаточной степенью уверенности. Соответственно структурные схемы индикаторов включают обычно из: фильтр, предназначенный для выделения полезного сигнала, и ограничитель, реализую­щий решающее правило — рис. 91.

Для того, чтобы определить каким должен быть селек­тивный фильтр, зададимся моделью помехи. Будем считать, что помеха представляет собой нормальный случайный про­цесс со средним значением, равным нулю, и равномерным энергетическим спектром G_h(w) = G₀ = const. Такая мо­дель помехи называется бельм шумом и соответствует, например, наличию на входе фильтра тепловых шумов.

Пусть на вход фильтра кроме помехи воздействует по­лезный сигнал (t), комплексный спектр которого Q(w). Спектр отклика на полезный сигнал и энергетический спектр помехи на выходе фильтры равны соответственно

(w) = (w) (w)

где К(w) — модуль комплексного коэффициента преобразо­вания фильтра К(w) . Мощность отклика на полезный сигнал на выходе фильтра

а эффективная мощность помехи, равная ее дисперсии,

Фильтр наилучшим образом решит задачу выделения полезно­го сигнала, если в какой-нибудь момент времени t₀ максими­зирует отношение пиковой мощности сигнала к эффективной мощности помехи:

Синтезированный по этому критерию фильтр называется оптимальным. Для определения его основной метрологичес­кой характеристики — комплексного коэффициента преобра­зования — воспользуемся неравенством Буняковского-Шварца:

причем неравенство переходит в равенство, т. е. отношение пиковой мощности сигнала на выходе фильтра к эффектив­ной мощности помехи максимизируется, если

где Q(w) — комплексно сопряженный спектр входного сиг­нала.

Полученный результат говорит о том, чтодинамическая характеристика оптимального фильтра должна быть согласо­вана с входным воздействием. В частности, амплитудно-частотная и фазочастотные характеристики оптимального фильтра

Справедливо и обратное: любой фильтр оптимален только для одного вида сигналов, имеющих соответствующий спектр.

Пример 45. Построить графики АЧХ и ФЧХ фильтра, оптимального для обнаружения прямоугольного импульса длительностью t_и.

Решение. 1. Спектр прямоугольного импульса показан на рис. 92, а. Амплитудный и фазовый спектры представлены, соответственно, на рис. 92, б и в.

АЧХ оптимального фильтра, согласно первой из формул (27), может отличаться от амплитудного спектра входного сигнала только масштабом. Она построена на рис. 92, г.

ФЧХ, соответствующая второй формуле (27), построена на рис. 92, д.