Технология обучения младших школьников решению комбинаторных задач

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций , подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторные задачи можно решать различными методами. Можно условно разделить их на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить характер выборки , выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило, поставить числа и вычислить. Результат – это количество возможных вариантов.

При «неформальном» же методе решение задач на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И главное уже – не сколько, а какие варианты могут получиться. К «неформальным» относятся метод перебора. Данный метод доступен младшим школьникам , и в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты и, владея методом перебора, это можно сделать более рационально.

В обучении необходимо соблюдать этапность. Основное направление работы – это переход учащихся от осуществления случайного перебора вариантов к проведению систематического перебора сначала без использования средств его организации, а затем с их помощью. В качестве средств организации перебора предлагается использовать таблицы и графы.

Первый этап – подготовительный. На этом этапе ученики приобретают опыт образования объектов из отдельных элементов. Новые объекты ученики составляют, осуществляя пока хаотичный перебор, и от них не требуется найти все возможные варианты в данной задаче.

Например, построй различные башенки из кубиков.

В процессе решения таких задач ученики приобретают опыт хаотичного перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детей организации систематического перебора. Также подготовкой к проведению систематического перебора служат задания на распределение объектов на группы по различным основаниям (классификацию).

Например, разбей кораблики на 3 группы. Объясни, почему так сделал.

На подготовительном этапе идет работа по развитию мыслительных операций(анализ, синтез, сравнение, классификация), которые входят в состав деятельности при решении комбинаторных задач.

Второй этап – обучение решению комбинаторных задач с использованием систематического перебора всех возможных вариантов. Задача учителя на этом этапе состоит в том, чтобы показать ученикам преимущества осуществления рационального организованного перебора, а также научить их при решении каждой конкретной задачи самостоятельно находить «умный» способ перебора.

Например : Маша, Катя и Ульяна едут в электричке на дачу. Они сидят на одной скамейке. Девочкам нужно проехать 8 остановок. Чтобы нескучно ехать, они придумали на каждой остановке меняться местами. Смогут ли они каждый раз меняться местами так, чтоб новое расположение отличалось от предыдущих?

Запиши все возможные варианты расположения девочек( первым пиши имя той девочки, которая будет сидеть у окна).

Запиши полученные варианты еще раз, разделив их на три группы.

Можно ли составить больше шести способов расположения в ряд тарелки, вилки и ножа?

Каждый ученик составляет задачу своим способом. Важно следить, чтобы все варианты были различными.

По характеру получаемых соединений решают три вида комбинаторных задач:

1. Если соединения отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, то это перестановки.

Например, на каждом флажке должно было быть 3 горизонтальные полоски: красного, белого цвета. Нарисуй все флажки, которые можно получить, если менять порядок расположения цветов. Скажи, сколько вариантов флажков получится, если на каждом флажке будет:

2. Если соединения отличаются друг от друга хотя бы одним способом элементом либо состоят из одних и тех же, но расположенных в разном порядке, элементов, то это размещение.

Например, запишите все двузначные числа,которые можно составить, используя цифры 9,7,5. Сколько таких элементов получилось?

3. Если соединения отличаются составом, но не порядком элементов, то это сочетание.

Например, Иванушка попал в избушку к волшебнику, у которого есть чудесные вещи: меч-кладенец, шапка-невидимка, ковер-самолет, сапоги-скороходы и скатерть –самобранка. Волшебник говорит Иванушке: «Можно взять любые 2 вещи, но вернуть их нужно через 1 день. И так ты можешь брать только две вещи, но, главное, чтобы каждый раз набор чудесных вещей отличался от предыдущих. Какие наборы вещей ему надо брать? Сколько раз Иванушка сможет приходить к волшебнику за вещами?

Учеников необходимо последовательно познакомить с каждой из перечисленных групп.

Сначала вводят задачи на нахождение сочетаний. При этом в новую группу задач включаются и задачи из предыдущих групп.

При решении комбинаторных задач ученики осознают относительность понятий «одинаковые» и «разные». Один и тот же признак в одной ситуации может быть существенным, а в другой – не является таковым.

На третьем этапе решаются более сложные задачи, и для их решения дети учатся использовать такие средства организации перебора, как таблицы и графы.

С первым, как наиболее простым средством, ученики знакомятся с таблицами. Сначала, рассматривая таблицу, ученики «открывают» принцип ее составления, затем учатся заполнять.

Например, найдите принцип составления таблицы. Запишите в пустые клетки нужные числа.

Учить заполнять таблицы можно по строкам или по столбцам.

Например.

Запишите в таблицу только те числа, в каждом из которых число десятков меньше числа отдельных единиц.

После овладения умения заполнять готовые таблицы переходят к решению комбинаторных задач с помощью таблиц. При заполнении таблиц нужно каждый раз определять, следует ли записывать составляемое комбинаторное соединение: удовлетворяет ли оно поставленным условиям, не повторяет ли уже имеющиеся, например, при нахождении сочетаний. Клетки, которые при этом заполнятся, заштриховываются.

Например, поезд, который едет из города Ах в город Ух, делает по пути три остановки: в городах Ох, Их, Эх. Сколько различных по стоимости железнодорожных билетов потребуется, если пассажиры могут переезжать из любого города в любой другой?

Реши задачу с помощью таблицы. Учти, что проезд из одного города в другой туда и обратно одинаковый по стоимости. Клетки, которые не будут заполняться, заштриховывай.

Вторым средством организации перебора при решении комбинаторных задач, с которыми знакомятся младшие школьники, являются графы. При решении первых задач дети открываются для себя условные обозначения, ис пользуются в графах( точки, линии, стрелки, петли). Лини в графах можно проводить разными цветами. Чтобы ученикам легче сосчитать число, полученных вариантов.

Например, встретились 5 друзей: Андрей, Боря, Петя и Дима. При встрече они пожали друг у друга руки. Сколько всего было сделано?

Эту задачу можно решить другим способом. Обозначим мальчиков точками. А чтобы показать, что двое пожили друг другу руки, соединим точки линиями.