Отчет по устойчивости

Отчёт по устойчивости приводится в виде таблицы на рисунке 26. Первая часть таблицы содержит информацию, относящуюся к переменным:

· результат решения задачи;

· нормированная стоимость, которая показывает, насколько изменится значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение. Например, нормированная стоимость для изделий вида А равна 7 тыс. руб/шт. (строка 1). Это означает, что если мы несмотря на оптимальное решение (0, 30, 10, 0) попробуем включить в план выпуска единицу изделия вида А, то новый план выпуска принесёт нам доход 143 тыс. руб., что на 7 тыс. руб. меньше, чем полученное оптимальное решение;

Рис. 26. Содержание отчёта по устойчивости

· коэффициенты целевой функции;

· предельные значения приращения целевых коэффициентов ∆с_i, при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Например, Допустимое увеличение цены на изделие вида А – 7 тыс. руб/шт., Допустимое уменьшение – практически не ограничено. Если цена изделия А возрастет более чем на 7 тыс. руб/шт., то оптимальное решение изменится: станет целесообразным выпускать продукцию Х₁. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (0, 30, 10, 0) останется прежним.

Во второй части таблицы рисунка 26 содержится информация, относящаяся к ограничениям:

· величина использованных ресурсов в колонке Результ. значение;

· предельные значения приращения ресурсов ∆b_i. В графе Допустимое уменьшениепоказано, насколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить (повысить минимально необходимое требование) ресурс, сохранив при этом оптимальное решение.

Рассмотрим анализ дефицитных ресурсов. Анализируя отчет по результатам, мы установили, что существуют причины (ограничения), не позволяющие предприятию выпускать больше изделий, чем в оптимальном решении, и получать более высокий доход. В рассматриваемой задаче такими ограничениями являются дефицитные ресурсы «труд» и «оборудование». Поскольку знак ограничений этих запасов имеет вид ≤, то возникает вопрос, насколько максимально должен возрасти запас этих ресурсов, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ показан в графе Допустимое увеличение. Ресурс «труд» имеет смысл увеличить самое большое на 150 чел.-дней, а ресурс «оборудование» – на 30 станко-час. Ценность дополнительной единицы ресурса ί (теневая цена) рассчитывается только для дефицитных ресурсов (см. отчёт по устойчивости).

Анализ использования ресурсов в оптимальном плане выполняется с помощью второй теоремы двойственности:

если Y_i>0, то (14)

если (15)

Ресурсы «труд» и «оборудование» имеют отличные от нуля оценки 4/3 (1,33333) и 1/3 (0,333) – эти ресурсы полностью используются в оптимальном плане и являются дефицитными, т.е. сдерживающими рост целевой функции. Правые части этих ограничений равны левым частям:

7Х₁ + 2Х₂ + 2Х_з + 6Х₄ ≤ 80,

2Х₁ + 4Х₂ + Х_з + 8Х₄ ≤ 130,

7×0 + 2×30 + 2×10 +6×0 = 80 = 80,

2×0 + 4×30 + 1×10 + 8×0 = 130 = 130.

Ресурс «сырье» используется не полностью (280 < 480), поэтому имеет нулевую двойственную оценку Υ₂= 0).

5Х₁ + 8Х₂ + 4Х_з + 3Х₄ ≤ 480,

5×0 + 8×30 + 4×10 + 3×0 = 280 < 480.

Этот ресурс не влияет на план выпуска продукции.

Общая стоимость используемых ресурсов при выпуске 30 изделий второго вида и 10 изделий третьего вида составит 150 тыс. руб.:

= 80×Υ₁ + 480×Υ₂+ 130×Υ₃ =

= 80×4/3 + 480×0 + 130×1/3 = 150 тыс. руб.

Согласно четвертому ограничению задачи не использованный полностью в оптимальном плане ресурс получает нулевую оценку. Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности. Недефицитность ресурса возникает не из-за его неограниченных запасов (в задаче они ограничены величиной bi), а вследствии невозможности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию

Заметим, что ценность различных видов ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым осуществляется его закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурса только относительно полученного оптимального решения.

Анализ эффективности отдельных изделий выполняется на основе соотношений из второй теоремы двойственности:

если то (16)

если то (17)

Поясним равенство нулю Х₁ и Х₄. Если изделие вошло в оптимальный план (Х_j > 0), то в двойственных оценках оно не убыточно, т.е. стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия, равна его цене. Такие изделия эффективны, выгодны с точки зрения принятого критерия оптимальности. В нашей задаче – это изделия вида А и D.

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошли изделия вида А и D, потому что затраты по ним превышают цену на 7 (10 - 3 = 7) тыс. руб. и 9,666 (10,666 - 1 = 9,666) тыс. руб. соответственно. Этот факт можно подтвердить, подставив в ограничения двойственной задачи оптимальные значения вектора Y:

7×4/3 + 5×0+ 2×1/3 = 30/3 = 10 > 3,

2×4/3 + 8×0 + 4×1/3 = 12/3 = 4 = 4,

2×4/3 + 4×0 + 1×1/3 = 9/3 = 3 = 3,­

6×4/3 + 3×0 + 8×1/3 = 32/3 = 10,666 > 1.

Разницу между правым и левыми частями ограничений двойственной задачи можно найти в Отчете по устойчивости в столбце Нормируемая стоимость.

Анализ влияния изменения правых частей ограничений на значения целевой функции (чувствительность решения к изменению запасов сырья).

Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 12 ед., т.е. теперь он составляет 80 + 12 = 92 ед.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_ί приводит к увеличению или уменьшению Оно определяется величиной y_i в случае, когда при изменении величин b_ί значения переменных y_i в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными. В нашей задаче увеличение запасов ресурса «труд» приведет к увеличению значения целевой функции на 16 тыс. руб. ( = ∆b₁y₁= 12×4/3 = 16).

Для двойственных оценок оптимального плана существенное значение имеет их предельный характер. Оценки являются точной мерой влияния ограничений на функционал лишь при малом приращении ограничения. Известно, что оценки не меняют своей величины, если не меняется набор векторов, входящих в базис оптимального плана, тогда как интенсивность этих векторов (значения неизвестных) в плане могут меняться.

Поэтому необходимо знать такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, или интервалы устойчивости двойственных оценок, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы. Эту информацию можно получить из Отчета по устойчивости. В отчете (рис. 27) видно, что запасы дефицитных ресурсов «труд» и «оборудование» могут быть как уменьшены, так и увеличены. Увеличение запаса ресурса «сырье» не влияет на план выпуска продукции.

Рис. 27. Отчет по устойчивости

После увеличения запаса ресурса «труд» до 92 чел-час было получено новое решение задачи. Изменение запасов ресурсов в пределах интервалов устойчивости двойственных оценок привело не только к изменению значения целевой функции на 16 тыс. руб., но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменилась – изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как цены на ресурсы не изменились. Новый план выпуска составляет 28 изделий вида В и 18 изделий вида С. Изменение общей стоимости продукции на 16 тыс. руб. (24 – 8 = 16) получено за счет уменьшения плана выпуска на 2 ед. изделий вида В по цене 4 тыс. руб. (4×(28-30) = -8 тыс. руб. (3×(18-10) = 24 тыс. руб.).

4. Нелинейное программирование

Задача нелинейного программирования формулируется подобно задаче линейного программирования, но с учетом того, что целевая функция или/и хотя бы одно ограничение являются нелиней­ными. Вследствие этого задачи нелинейного программирования (НП) сложнее задач линейного программирования (ЛП). И для них не существует общего метода решения, который был бы аналогичен симплексному методу в ЛП. Следует также заметить, что задачи нелинейного программирования включают в себя также нели­нейные целочисленные задачи и задачи дискретного программи­рования. С учетом методов решения задачи нелинейной оптими­зации делятся на задачи условной оптимизации (поиск экстремума функции с учетом дополнительных условий в виде ограничений и граничных условий) и задачи безусловной оптимизации (поиск экстремума функции без всяких дополнительных условий). Для решения такого типа задач существует много различных методов. Применение того или иного метода решения зависит от типа не­линейности. Надстройка Поиск решения помогает облегчить численное решение задач нелинейного программирования.