Прості і складні висловлення

Знання про явища в навколишньому світі відображуються нами в категоріях об’єктів мислення (дослідження), таких як предмети, події та відношення між ними. Будь-який з цих об’єктів володіє комплексом певних ознак, тобто особливостей, що притаманні даному об’єкту. Для кожної з конкретних наук деякі ознаки об’єкта мислення будуть суттєвими, а інши – несуттєвими. Кожному об’єкту мислення людина зіставляє у відповідність поняття (термін, слово), що є характеристичною рисою об’єкта, яка відрізняє його від інших об’єктів. Отже, поняття – це форма мислення, яка відображає об’єкти мислення в їх суттєвих ознаках. Поміж поняттями також можуть існувати певні відношення. Сукупності понять і відношень між ними, як об’єкти мислення, називають судженнями.

Моделлю судження в математичній логіці є висловлення, яким визначаються суттєві ознаки об’єкта мислення, групи об’єктів і зв’язків між об’єктами. Зрозуміло, що термін “висловлення” також є поняттям, тому в математичній логіці йому дається формалізоване означення.

Означення 2.1.Висловленням називається будь-яке розповідне речення (твердження, судження), про яке в даний момент можна сказати, істинне воно чи хибне.

Згідно цього означення, єдиною ознакою висловлення як об’єкта математичної логіки є його характеристика істинності-хибності. Якщо речення не є розповідним, його істинність визначити неможливо. Тому речення, наприклад, “Ура!” або “Навіщо вивчати математичну логіку?” не є висловленнями. Розповідні речення також не завжди є висловленнями. Наприклад, речення “Незабаром буде тепло” або “Математична логіка – захоплива наука” не є висловленнями, бо неможливо встановити їх істинність або хибність. У той же час речення А=“Україна знаходиться у південній півкулі Землі” або В=“Знання математичної логіки необхідне фахівцю з інформаційних технологій” є висловленнями, оскільки очевидною є хибність першого з них і істинність другого. Більш того, характеристика хибності-істинності цих висловлень не залежить ні від яких обставин. Такі висловлення називають, відповідно, тотожно хибним і тотожно істинним, їм привласнюються символічні “значення” А=0 і В=1. Характеристика істинності (хибності) висловлення може бути залежною від певних обставин. Прикладом може служити висловлення C=“Значення першого і другого коренів квадратного рівняння дорівнюють 0,005 і 0,15 відповідно”. Істинність (C=1) або хибність (C=0) цього висловлення залежить від значень коефіцієнтів рівняння. Висловлень, які одночасно є істинними і хибними, не існує.

В математичних моделях електронних пристроїв дискретної дії символи 1 і 0 відповідають двом (наприклад, високому та низькому) рівням електричних сигналів на входах і виходах пристрою.

Висловлення різного змісту не можна вважати однаковими (рівними). Однак, два висловлення називають еквівалентними, якщо вони одночасно істинні або хибні. Еквівалентність висловлень позначається знаком ~ або =. Наприклад, напис А~В (або А=В) означає, що А і В істинні або хибні одночасно.

У наведених вище прикладах висловлення є простими, оскільки вони не можуть бути розділені на частини, які також можна вважати висловленнями. Із простих (атомарних) висловлень за допомогою логічних зв’язків можна створювати складні (молекулярні) висловлення, які по суті є формулами. Зазвичай елементи складного висловлення, тобто прості висловлення, позначаються малими літерами (x, y, z,…), а самі складні висловлення – великими літерами (X, Y, Z, …). Істинність складного висловлення залежить від істинності його складових. Наприклад, складним буде висловлення C=“У тесті з теорії інформації правильною є відповідь за №3 (просте висловлення c₁), і студент Петренко це знає (просте висловлення с₂)”. Істинність складного висловлення C, безумовно, залежить від істинності простих висловлень c₁ і c₂. Отже, складне висловлення є логічною функцією простих висловлень – логічних змінних (аргументів логічної функції). Семантичні зв’язки (і, або, не, отже), що з’єднують логічні змінні у складних висловленнях, є знаками логічних дій, тобто логічних операцій.