Конечно-элементная аппроксимация

Рассмотрим построение аппроксимации на одномерном примере. Пусть требуется найти распределение некоторой непрерывной функции u(x) вдоль стержня (см. рис. 6.9, а). На практике эта функция может описывать, например, распределение температуры или деформацию стержня.

а б

Рис. 6.9 ‑ Одномерное распределение

Выберем и пронумеруем ряд точек вдоль оси х ‑ это узловые точки (рис. 6.9, б). В нашем примере взято всего пять точек. Вообще говоря, их мо­жет быть произвольное количество, и располагаться они могут не на равном расстоянии друг от друга. Предположим, что значения в узловых точках известны. Они обозначены на рис. 6.9, б в соответствии с номерами узлов – u₁ u₂, u₃, u₄,.

Разбиение расчетной области, то есть стержня, на конечные элементы может быть проведено различными способами. Можно, например, выделить четыре элемента, включив в каждый из них по два соседних узла (рис. 6.10 а). А можно выделить в стержне всего два элемента, содержащие по три узла (рис. 6.10, б).

При использовании четырех элементов, каждый из которых включает только два узла, аппроксимирующая функция в пределах элемента будет ли­нейна по х, так как две точки однозначно определяют прямую линию. Общая аппроксимация зависимости и(х) по всей длине стержня будет складываться из четырех отрезков прямых (рис. 6.10, а).

Зависимость u(x) в пределах одного элемента, ограниченного двумя со­седними узлами x_i и Xj? (j = i + 1), можно представить линейным интерпо­ляционным полиномом u(x) ~ ? а + a_x x. Определив параметры а и а_х по из­вестным в точках x_i и xj ? значениям функции u_i и U_j,? запишем интерполяцион­ный полином, то есть функцию элемента следующим образом:

(6.86)

где N_i и _Nj - функции формы конечного элемента, u_i и u_j - значения функции u(x) в точках x_i и x_j, – матричная строка функций формы элемента

Следует отметить, что ряд терминов метода конечных элементов получили назва­ние из механики, где он впервые начал активно использоваться.

В случае разбиения области на два элемента (рис. 6.10, б) три узловые точки в каждом из них позволяют однозначно определить функции элемен­тов в виде полиномов второй степени. Соответственно распределение u(х) на всей длине стержня будет аппроксимироваться кусочно-непрерывной квадратичной функцией. При этом общая аппроксимация для стержня может содержать излом из-за несовпадения углов наклона графиков полиномов (их первых производных) в третьем узле.

Для двухмерной или трехмерной задачи аппроксимация строится ана­логичным образом. В зависимости от вида элементов (количества используе­мых в них узлов) также применяется линейная или нелинейная аппроксима­ция. Примеры аппроксимации двухмерной непрерывной функции u(x,y) при­ведены на рис. 6.11.

Функция формы элемента будет представлена плоскостью, если для не­го взято минимальное число узлов, которое для треугольного элемента равно трем, а для четырехугольного ‑ четырем. В этом случае используют линей­ную аппроксимацию .

По аналогии с одномерным случаем линейный интерполяционный многочлен для простейшего треугольного элемента, включающего только три узла, записывают в виде

(6.87)

где N_t , Nj , N_k - функции формы элемента, и ,?uj , u_k - значения функции в узлах, принадлежащих элементу, [N^(e)] - матричная строка функций формы элемента, [u^(e)] - вектор-столбец значений функции u(x,y) в его узлах. Если элемент содержит большее количество узлов, то аппроксимирующая функ­ция элемента будет отображаться криволинейной поверхностью.

Для всей расчетной области аппроксимацией распределения u(x,y) яв­ляется кусочно-линейная (или кусочно-нелинейная) поверхность, каждый из участков которой определяется на отдельном элементе с помощью значений u(x,y) в принадлежащих ему узлах.

Для построения аппроксимации так, как это было показано выше, не­обходимо знать распределение u(x,y) во всей расчетной области. Однако до решения задачи эта зависимость обычно как раз и не известна. Тем не менее, используя аппроксимирующие формулы (6.86) или (6.87), решение можно полу­чить. Способы отыскания решения рассмотрены ниже.