Классификация методов

Возможны два подхода к решению задачи отыскания минимума функции многих переменных f(x) = f(x₁, ..., х_n) при отсутствии ограничений на диапазон изменения неизвестных. Первый подход лежит в основе косвенных методов оптимизации и сводит решение задачи оптимизации к решению системы нелинейных уравнений, являющихся следствием условий экстремума функции многих переменных. Как известно, эти условия определяют, что в точке экстремума х* все первые производные функции по независимым переменным равны нулю:

, i=1, …, n. (7.5)

Эти условия образуют систему п нелинейных уравнений, среди решений которой находятся точки минимума. Вектор f’(х), составленный из первых производных функции по каждой переменной, т.е.

, (7.6)

называют градиентом скалярной функции f(x). Как видно, в точке минимума градиент равен нулю.

Решение систем нелинейных уравнений ‑ задача весьма сложная и трудоемкая. Вследствие этого на практике используют второй подход к минимизации функций, составляющий основу прямых методов. Суть их состоит в построении последовательности векторов х [0], х [1], …, х [n], таких, что f(х[0])> f(х [1])> f(х [n])>… В качестве начальной точки x[0] может быть выбрана произвольная точка, однако стремятся использовать всю имеющуюся информацию о поведении функции f(x), чтобы точка x[0] располагалась как можно ближе к точке минимума. Переход (итерация) от точки х [k] к точке х [k+1], k = 0, 1, 2, ..., состоит из двух этапов:

1. выбор направления движения из точки х [k];

2. определение шага вдоль этого направления.

Методы построения таких последовательностей часто называют методами спуска, так как осуществляется переход от больших значений функций к меньшим.

Математически методы спуска описываются соотношением

x[k+1] = x[k] + a_kp[k], k = 0, 1, 2, ...,

где p[k] - вектор, определяющий направление спуска; a_k - длина шага. В координатной форме:

(7.7)

Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора двух параметров - направления спуска и длины шага вдоль этого направления. На практике применяются только методы, обладающие сходимостью. Они позволяют за конечное число шагов получить точку минимума или подойти к точке, достаточно близкой к точке минимума. Качество сходящихся итерационных методов оценивают по скорости сходимости.

В методах спуска решение задачи теоретически получается за бесконечное число итераций. На практике вычисления прекращаются при выполнении некоторых критериев (условий) останова итерационного процесса. Например, это может быть условие малости приращения аргумента

(7.8)

или функции

. (7.9)

Здесь k ‑ номер итерации; e, g ‑ заданные величины точности решения задачи.

Методы поиска точки минимума называются детерминированными, если оба элемента перехода от х[k]к x[k+l] (направление движения и величина шага) выбираются однозначно по доступной в точке х [k] информации. Если же при переходе используется какой-либо случайный механизм, то алгоритм поиска называется случайным поиском минимума.

Детерминированные алгоритмы безусловной минимизации делят на классы в зависимости от вида используемой информации. Если на каждой итерации используются лишь значения минимизируемых функций, то метод называется методом нулевого порядка. Если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции, то имеют место методы первого порядка, при необходимости дополнительного вычисления вторых производных ‑ методы второго порядка.

В настоящее время разработано множество численных методов для задач как безусловной, так и условной оптимизации. Естественным является стремление выбрать для решения конкретной задачи наилучший метод, позволяющий за наименьшее время использования ЭВМ получить решение с заданной точностью.

Качество численного метода характеризуется многими факторами: скоростью сходимости, временем выполнения одной итерации, классом решаемых задач и т. д. Решаемые задачи также весьма разнообразны: они могут иметь высокую и малую размерность, быть унимодальными (обладающими одним экстремумом) и многоэкстремальными и т. д. Один и тот же метод, эффективный для решения задач одного типа, может оказаться совершенно неприемлемым для задач другого типа. Очевидно, что разумное сочетание разнообразных методов, учет их свойств позволят с наибольшей эффективностью решать поставленные задачи. Многометодный способ решения весьма удобен в диалоговом режиме работы с ЭВМ. Для успешной работы в таком режиме очень полезно знать основные свойства, специфику методов оптимизации. Это обеспечивает способность правильно ориентироваться в различных ситуациях, возникающих в процессе расчетов, и наилучшим образом решить задачу.