Механические системы

Краеугольным камнем динамической модели любой механической системы явля­ется второй закон Ньютона.

Для применения закона Ньютона необходимо задать некоторую систему отсчета относительно которой будут определяться положение, скорость и ускорение. Пусть вектор F — сумма всех сил, действующих на тело, т — масса тела, а вектор z характеризует его положение. Ускорение а — вектор с тем же направлением, что и вектор F. Уравнение баланса имеет вид

В действительности Ньютон сформулировал свое утверждение относительно импульса т ■ v следующим образом

Второй закон Ньютона можно записать как систему дифференциальных уравне-„ _пер_ВОго порядка, в форме так называемых уравнений состояния (раздел 3.3.2). \ и прямолинейном движении координата z и скорость v выражаются как скаляры:

Более общая форма уравнений динамики — это уравнения Лагранжа. Пример 3.2

Рис. 3.1. Закон Ньютона для прямолинейного движения Закон Ньютона в этом случае записывается в виде

После простых преобразований получим

Уравнение из примера 3.2 можно использовать для описания многих сервомеханизмов. Качественно решение уравнения зависит от относительной величины коэфициентов b,k и т. При малом коэффициенте демпфирования b уравнение описывает колебательный процесс, а при больших значениях b колебания отсутствуют.

Системы такого рода часто характеризуются относительным демпфированием, ч_ас тотой собственных колебаний, шириной полосы пропускания и коэффициентом усиления.

Закон Ньютона для систем вращения имеет вид

где Т — сумма всех моментов, действующих на тело, J — момент инерции и со — уг_Ло. вая скорость (рис. 3.2). Часто J — непостоянная величина, например, при работе пр₀. мышленного робота или прокатного стана, и нужно учитывать его зависимость щ времени.

Рис. 3.2. Закон Ньютона для вращения

Если ввести понятие угла поворота е, то динамику вращения можно описать в фор ме уравнений состояния. При этом полагают, что известно направление вращения» что величина J постоянна. Тогда дифференциальные уравнения записываются в виде

Пример 3.3

Момент электрического двигателя

Электрический двигатель связан с нагрузкой жестким валом. Результиру­ющий момент Г — разность между вращающим моментом Т_гп и моментом со­противления нагрузки T_L. Момент двигателя Т_т является функцией тока рото­ра, магнитного потока и, в некоторых типах двигателей, угловой скорости и угла поворота. Ток зависит от переходного процесса в цепи ротора.

Момент сопротивления нагрузки T_L также зависит от многих факторов. Кулоновское трение вызывает момент d_u, который зависит не от скорости, а только от направления вращения и действует всегда против него (рис. 3.3). В некоторых системах есть вязкое сопротивление с моментом d₁ *w₀ , характе­ризующееся параметром d_1. В компрессоре или насосе момент сопротивления

Функция sign(co) принимает значение +1 для положительного аргумента со и -1 — для отрицательного и используется для обозначения направления. Общий баланс моментов ротора

Где J — полный момент инерции двигателя и нагрузки.

Промышленный робот — это сложная механическая система, состоящая из свя­занных жестких рычагов. Описание динамики движения манипулятора робота бази­руется на законах Ньютона. Уравнения Лагранжа являются обобщенной формой закона Ньютона. Существуют деформируемые механические системы, например крыло самолета, при движении которых могут появляться нежелательные колебания; такие динамические системы, вообще говоря, очень сложны для управления.