Случайный характер расчетных величин

Большинство величин, входящих в формулы (4.1 – 4.4) для расчета строительных конструкций, не могут быть определены вполне точно, поскольку эти величины в каждом отдельном случае могут иметь различные, хотя и близкие друг к другу, значения. Такие величины называются случайными.

Примером случайной величины может служить предел прочно­сти материала. Экспериментаторам хорошо известно, что каждый из одинаковых, испытываемых по строго определенной программе об­разцов показывает свою величину прочности. Совокупность полу­ченных прочностей может быть представлена гистограммой (рис. 4.2. а), а при очень большом числе образцов — в пределе непре­рывной функцией распределения этих величин (рис. 4.2. б).

Рис. 4.2. Геометрические формы распределения случайных величин

Обычно по оси ординат кривой распределения откладывается не число случаев, соответствующих данной абсциссе, как в гисто­грамме, а отношение этого числа к общему числу всех испытаний. Тогда площадь кривой распределения будет равна единице;

(4.5)

Считается, что кривая распределения данной случайной величины х является достаточно стабильной для разных серий испыта­ний, производимых в одинаковых условиях.

В каждом конкретном случае случайная величина принимает одно из своих возможных значений, которое называется реали­зацией случайной величины. Можно определить вероятность Р_х (а) того, что реализация случайной величины будет меньше а. Эта вероятность равна площади кривой распределения, лежащей левее ординаты а (рис. 4.2 б). Кривую Р_х (х) (рис. 4.2 в) можно построить, интегрируя кривую распределения р_х (х):

Поэтому кривую Р_х (х) будем называть интегральной кривой распределения случайной величины х. Кривую р_х (х} более точно называют кривой распреде­ления плотности вероятности величины х, по­скольку

представляет собой предел вероятности нахождения величины х в интервале а < х < а + dx, деленной на dx.

В дальнейшем случайные величины в отличие от их реализаций и от детерминированных величин будем обозначать буквой с волни­стой чертой сверху (тильдой), например .

Кривая распределения плотности вероятности р_х дает полную характеристику случайной величины . Однако во многих случаях можно довольствоваться основными параметрами случайной вели­чины, главными из которых являются центр распределения, или математическое ожидание, совпадающие со средним значением случайной величины

(4.6)

и дисперсия

(4.7)

Корень квадратный из дисперсии

(4.8)

называют стандартом, или среднеквадратичным отклонением случайной величины от ее центра.

Используя геометрические представления, мы можем определить центр распределения как абсциссу центра тяжести площади кривой распределения, а дисперсию — как момент инерции этой площади относительно вертикальной центральной оси (рис.4.1), или, учитывая, что площадь кривой распределения равна единице, как квадрат радиуса инерции этой площади.