Тема 2. Программный продукт MathCad. 1) Основные возможности программы.

Лекция 6 (2 часа)

Вопросы для изучения:

1) Основные возможности программы.

2) Ее интерфейс.

3) Основные математические палитры.

4) Работа с векторами и матрицами.

СИСТЕМА АВТОМАТИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

ВЫЧИСЛЕНИЙ MATHCAD

MathCad - это популярная компьютерная математическая система, предназначенная для автоматизации решения многих математических задач в различных областях науки, техники и образования [1]. Название системы происходит от четырех английских слов - MATHematics (математика) и CAD (Computer Aided Design - система автоматизированного проектирования, т.е. САПР). На сегодняшний день MathCad (последняя версия - MathCad 2000) является универсальной математически ориентированной системой, обладающей как возможностями численных и аналитических вычислений, так и средствами для оформления документов (математические формулы, графики и т.д.). Библиотеки и пакеты расширения системы обеспечивают ее ориентацию на самые различные области науки и техники.

Отличительной чертой MathCad является объединение в одном рабочем документе математического описания алгоритма решения задач, заданного в виде привычных математических формул и символов, с текстом и результатами вычислений, отображаемыми в виде символов, чисел, таблиц и графиков.

Фактически документы MathCad объединяют код, написанный на специальном визуально-ориентированном языке программирования, т.е. на таком языке, который задает программу не в виде малопонятных кодов, а в виде визуально понятных объектов [1]. Поскольку MathCad ориентирован на математические вычисления, то его входной язык программирования практически не отличается от обычного языка математических книг и технической литературы и позволяет описывать математические алгоритмы в естественной математической форме с применением общепринятой символики для математических знаков, таких, например, как квадратный корень, знак интеграла и т.д. Таким образом, можно сказать, что в MathCad реализуется принцип решения математических задач без их программирования.

Интерфейс пользователя

Основные элементы интерфейса пользователя системы MathCad приведены на рис. 6.1. К ним относятся:

- главное меню;

- панель инструментов "Форматирование";

- стандартная панель инструментов;

- панель вывода палитр математических знаков;

- рабочее поле документа;

- маркер ввода.

Главное менюMathCad включает в себя следующие подменю:

· File - работа с файлами (создание, открытие, сохранение на диск, печать);

· Edit - редактирование документов;

· View - изменение способов представления документа, настройка интерфейса системы (включение/отключение панелей);

· Insert - вставка функций, объектов, шаблонов, графиков;

· Format - изменение формата объектов;

· Math - управление процессом вычислений;

· Symbolic - выбор операций символьного процессора;

· Window - управление окнами системы;

· Help - работа со справочной базой системы.

Рис. 6.1 Основные элементы интерфейса системы MathCad

Стандартная панель инструментоввключает в себя кнопки работы с файлами, организации печати и редактирования документа, кнопку вставки функций MathCad ( ) и др.

Панель инструментов "Форматирование" представляет собой набор стандартных кнопок и окон ввода, обеспечивающих изменение типа и размера шрифта, способа выравнивания текста документа.

Панель вывода палитр математических знаков (рис. 6.2) позволяет включать палитры, с помощью которых можно вводить в документы практически все известные математические символы и операторы.

Рис. 6.2 Панель вывода палитр математических знаков

Приведенные на рис. 6.2 палитры позволяют производить следующие операции:

· "Арифметика" - выполнение основных арифметических действий, ввод простых математических знаков, тригонометрических функций и пр.;

· "Сравнения и отношения" - ввод знаков сравнения, отношения и присваивания ("<", ">", "=" и др.);

· "Графики" - построение двумерных и трехмерных графиков;

· "Векторы и матрицы" - ввод векторов, матриц, выполнение основных матричных операций;

· "Вычисления" - вычисление интегралов, производных, пределов функций и т.д.;

· "Греческие символы" - ввод заглавных и строчных греческих букв, широко используемых в математике;

· "Символьные вычисления" - выполнение аналитических (символьных) вычислений.

На рабочее поле документавводятся формулы, текстовая информация и выводятся результаты расчета и графики.

Маркер ввода представляет собой красный крестик и указывает текущее место ввода информации.

Рассмотрим ввод простейшего математического выражения на следующем примере. Пусть требуется вычислить значение выражения .

Для этого маркер ввода (красный крестик) устанавливается мышью в нужное место документа и при помощи математической палитры "Арифметика" (рис. 6.3) вводится символ экспоненты (шаг а, см. рис. 6.4).

Рис. 6.3 Математическая палитра "Арифметика"

Рис. 6.4 Последовательность ввода математической формулы

Из этой же палитры впоследствии вводятся: знак натурального логарифма (шаг г, рис. 6.4), знак корня (шаг ж, рис. 6.4). Следует отметить, что после окончания ввода числа 0,125 для выхода из режима надстрочного символа (шаг б) необходимо нажать клавишу "Пробел". Аналогично поступают на шаге д с целью охвата всей введенной формулы так, чтобы вводимая впоследствии черта деления (шаг е) относилась не только к "ln(3.5)", а к обоим слагаемым. То же самое - на шаге з, где необходимо выйти из знаменателя дроби.

Ввод формулы заканчивается символом "=", в результате чего MathCad производит вычисление заданного выражения.

В палитре арифметических вычислений (рис. 6.3) кнопки обозначаются общепринятыми в математике символами, поэтому нет необходимости останавливаться на каждой из них. Поясним лишь, что кнопка обозначает десятичный логарифм, кнопка - мнимую единицу , а кнопки будут рассмотрены в модуле 7.

Входной язык MathCad, как и любой язык программирования высокого уровня, имеет оператор присваивания. Он вводится при помощи кнопки арифметической палитры (рис. 6.3), или при помощи клавиатуры своим первым символом ":". Например,

a:=1

b:=2.5

После ввода таких выражений переменные a и b могут использоваться в дальнейших расчетах, например,

a+5=6

b*4=10

MathCad выполняет вычисления слева направо, а затем - вниз. Это обстоятельство следует учитывать при вводе формул. Например, от того, где находится оператор a:=2 (выше - рис. 6.5, а - или ниже - рис. 6.5, б - оператора a:=1), зависит результат последнего выражения a+1.

а) б) в)

Рис. 6.5 Пример последовательности вычислений в MathCad

Оператор глобального присваивания "º", который безразличен к месту своего расположения (рис. 6.5, в), вводится посредством палитры "Сравнения и отношения" (рис. 6.6, а).

а) б)

Рис. 6.6 Математические палитры "Сравнения и отношения" (а)

и "Вычисления" (б)

Чтобы вывести на экран текущее значение переменных достаточно ввести имя переменной и знак "=", например,

a=1

b=2.5

Вычисление определенных интегралов, численное дифференцирование, определение сумм, произведений и пределов выполняется при помощи палитры "Вычисления" (рис. 6.6, б).

Пример ввода формул дифференцирования, интегрирования и суммирования приведен на рис. 6.7.

Рис. 6.7 Пример ввода формул дифференцирования,

интегрирования и суммирования

Вставка функций, не вынесенных на математические палитры, осуществляется через меню "Insert"-"Function" или при помощи специальной кнопки на стандартной панели инструментов. Среди них:

- тригонометрические функции: cot(z) - котангенс, asin(z) - арксинус, acos(z) - арккосинус, atan(z) - арктангенс;

- гиперболические: cosh(z) - гиперболический косинус, sinh(z) - гиперболический синус, tanh(z) - гиперболический тангенс, coth(z) - гиперболический котангенс, acosh(z) - гиперболический арккосинус, asinh(z) - гиперболический арксинус, atanh(z) - гиперболический арктангенс;

- функции работы с комплексными числами: arg(z) - вычисление аргумента комплексного числа, Re(z), Im(z) - вычисление действительной и мнимой части комплексного числа;

- функции округления: ceil(x) - округление действительного числа в сторону положительной бесконечности, floor(x) - в сторону отрицательной бесконечности.

Например,

z:=2+4×i

arg(z)=1.107

Пользователь может в MathCad определять свои собственные функции (функции пользователя). Например, пусть требуется определить функцию . Назовем ее именем myfun и создадим в MathCad следующую запись при помощи палитры "Арифметика" (рис. 6.3)

После этого можно вызывать данную функцию с любым допустимым аргументом, например,

myfun(3)=3.162

Созданный в MathCad документ можно сохранить на диске через меню "File"­–"Save As…", "File"–"Save" или при помощи кнопки стандартной панели инструментов. Файлы, содержащие документы MathCad, имеют расширение "*.mcd". Например, "lab1.mcd" или "document.mcd".

Загрузка файлов MathCad с диска выполняется посредством меню "File"­–"Open…" или кнопки стандартной панели инструментов.

ВЕКТОРНЫЕ И МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ В MATHCAD.

В MathCad есть специальный тип данных, который называют ранжированными переменными. В отличие от обычных переменных они имеют множественные значения. Например, если записать n:=1..5, то переменная n будет представлять собой целые числа от 1 до 5 с шагом 1, т.е. 1, 2, 3, 4 и 5. Ввод символа ".." производится при помощи кнопки палитры математических знаков "Арифметика" (рис. 6.3) или нажатием клавиши ";" на клавиатуре.

Если требуется задать ряд чисел в виде арифметической прогрессии с определенным шагом, то ранжированная переменная записывается в следующем виде:

x:=x1, x2 .. xk

Здесь x1 - начальное значение, x2 - второе, а xk - конечное. Например, запись

x:=1, 1.1 .. 1.5

задает ранжированную переменную из шести значений 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 и 1.5. Т.е. шаг прогрессии определяется автоматически как x2-x1.

Вывод ранжированной переменной на экран производится аналогично, как и для обычной переменной, при помощи знака "=", т.е. x=. Однако при этом значения переменной x будут выведены в виде таблицы (рис. 7.1, а).

а) б)

Рис. 7.1 Ранжированная переменная (а) и вектор (б) в MathCad

Основное отличие ранжированной переменной от вектора заключается в том, что доступ к отдельным ее элементам отсутствует!Например, применяя функцию "синус" к переменной x (рис. 7.1, а), получим в результате также ранжированную переменную, каждый элемент которой равен синусу соответствующего элемента переменной x.

Элементы вектора могут задаваться при помощи кнопки палитры математических знаков "Арифметика" (рис. 6.3). Например, посредством ранжированной переменной i определим индексы (от 0 до 5) вектора V, значения которого находятся по формуле V_i=2i+1 (см. рис. 7.1, б). Как видно из рис. 7.1, б, возможен вывод на экран как всего вектора V, так и его отдельных элементов, например V₁. Аналогично могут задаваться и матрицы.

Для ввода матриц (векторов) и проведения операций с ними используется математическая палитра "Векторы и матрицы" (рис. 7.2, а). При этом вектор рассматривается как матрица из одного столбца или одной строки.

Рис. 7.2 Палитра математических знаков "Векторы и матрицы" (a)

и окно ввода матрицы (б)

Самая первая кнопка данной палитры позволяет задать шаблон матрицы. После ее нажатия на экране появляется окно ввода матрицы (рис. 7.2, б), в котором запрашивается число строк - Rows и число столбцов - Columns. После ввода данных параметров и нажатия в окне кнопки "Insert" на экране появляется шаблон вводимой матрицы с черными квадратиками на месте будущих элементов (рис. 7.3).

Рис. 7.3 Ввод матриц в MathCad

Доступ к отдельным элементам матрицы производится при помощи двух подстрочных индексов, разделенных друг от друга запятой (рис. 7.3). Первый индекс обозначает номер строки, а второй - номер столбца. При этом следует учитывать, что нумерация строк и столбцов начинается с "0".

Различные способы задания матриц приведены на рис. 7.4.

а) б) в)

Рис. 7.4 Способы задания матриц: а - при помощи шаблона,

б - поэлементно, в - автоматически через индексы

Операции над векторами и матрицами

Рассмотрим основные операции, выполняемые над векторами. Например, заданы два вектора - A и B (рис. 7.5).

Рис. 7.5 Операции над векторами

При помощи обычных арифметических знаков производятся операции сложения, вычитания, сложения вектора с константой и умножения вектора на скаляр. Знак умножения для двух векторов позволяет вычислить их скалярное произведение, т.е. A×B=A₀B₀+A₁B₁+A₂B₂=32. Кнопка палитры "Векторы и матрицы" (рис. 7.2, а) выполняет транспонирование вектора-столбца B в вектор-строку, кнопка подсчитывает сумму элементов вектора. Особую роль выполняет оператор векторизации (кнопка ). Он позволяет применять многие скалярные функции к вектору или матрице. Например (рис. 7.5), операция умножения двух векторов под знаком векторизации производится поэлементно, а результатом выполнения функции sin(A) будет вектор, элементы которого есть значения синуса от соответствующих элементов вектора A.

Кроме того, в MathCad имеются следующие встроенные функции:

- length(A) - возвращает число элементов вектора A;

- last(A) - возвращает номер последнего элемента вектора A;

- max(A) - возвращает максимальный элемент вектора A;

- min(A) - возвращает минимальный элемент вектора A.

Основные операции, выполняемые над матрицами, приведены на рис. 7.6.

Рис. 7.6 Операции над матрицами

Среди них (рис. 7.6): вычисление определителя квадратной матрицы (кнопка палитры "Вектора и матрица"), умножение, сложение, вычитание. Аналогично, как и с векторами, производится операция векторизации матрицы, поиск максимального и минимального элементов матрицы. Кнопка предназначена для вывода на экран определенного столбца, а обращению матрицы соответствует ее возведение в степень "-1".

Кроме того, в MathCad имеются следующие встроенные функции:

- submatrix (M, ir, jr, ic, jc) - возвращает субматрицу, состоящую из всех элементов матрицы M, содержащихся в строках от ir до jr и в столбцах с ic по jc;

- Re (M) - возвращает матрицу действительных частей матрицы M с комплексными элементами;

- Im (M) - возвращает матрицу мнимых частей матрицы M с комплексными элементами;

- cols (M) - возвращает число столбцов матрицы M;

- rows (M) - возвращает число строк матрицы M;

- rank (M) - возвращает ранг матрицы M;

- tr (M) - возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы M;

- mean (M) - возвращает среднее значение элементов матрицы M;

- median (M) - возвращает медиану матрицы M.

Пример. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

или

Тогда решение данной системы уравнений в MathCad найдем следующим образом (рис. 7.7).

Рис. 7.7 Решение системы линейных уравнений в MathCad