Вопрос. Модели теории массового обслуживания

Модели теории массового обслуживания используются для определения оптимального числа каналов обслуживания по отношению к потребности в них. К ситуациям, в которых модели теории массового обслуживания могут быть полезны, можно отнести ожидание клиентами банка свободного кассира, очередь грузовиков под разгрузку на склад. Если, например, клиентам приходится слишком долго ждать кассира, они могут решить перенести свои счета в другой банк. Подобным образом, если грузовикам приходится слишком долго дожидаться разгрузки, они не смогут выполнить положенное количество ездок за день.

Таким образом, принципиальная проблема заключается в уравновешивании расходов на дополнительные каналы обслуживания: требуется больше людей для разгрузки грузовиков, больше кассиров и потерь от обслуживания на уровне ниже оптимального (грузовики не могут сделать лишнюю ездку из-за задержек под разгрузкой, потребители уходят в другой банк из-за медленного обслуживания).

Так, модели очередей снабжают руководство инструментом определения оптимального числа каналов обслуживания, которые необходимо иметь, чтобы в случаях чрезмерно малого и чрезмерно большого их количества сбалансировать издержки [10,32].

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований простейший (пуассоновский).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона. Важная характеристика систем массового обслуживания — время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования — это, как правило, случайная величина и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории, особенно в практических приложениях, получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания.

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных систем массового обслуживания с ожиданием, т.е. таких систем, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром X.

Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

Время обслуживания каждого требования /об — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром ц.

Системы массового обслуживания с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. Например, мастер, задача которого — наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на накладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно. Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на используемый математический аппарат. Расчет характеристик работы систем массового обслуживания различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний систем (так называемые формулы Эрланга).

Рассмотрим алгоритмы, предназначенные для расчета качества функционирования разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием. При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр а=А,/|а. Заметим, что если а/л < 1, то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: X — среднее число требований, поступающих за единицу времени; 1/ц — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда а = X х 1/ ц — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования. Поэтому условие а /п < \ означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования. Важнейшие характеристики работы систем массового обслуживания:

1) вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:

2) вероятность того, что занято ровно к обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:

3) вероятность того, что в системе находится к требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов:

4) вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:

5) среднее время ожидания требования в системе:

6) средняя длина очереди:

7) среднее число свободных от обслуживания каналов:

8) коэффициент простоя каналов:

9) среднее число занятых обслуживанием каналов:

10) коэффициент загрузки каналов:

При рассмотрении замкнутых систем массового обслуживания к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе одновременно не может находиться больше т требований (т — число обслуживаемых объектов) [52].

Модели управления запасами используются для того, чтобы определить время размещения заказов на ресурсы и их количество, а также массу готовой продукции на складах. Любая организация должна поддерживать некоторый уровень запасов во избежание задержек на производстве и в сбыте. Для больницы требуется поставка необходимого количества лекарств, для производственной фирмы — сырья и деталей, а также определенный задел незавершенного производства и запас готовой продукции.

Цель данной модели — сведение к минимуму отрицательных последствий накопления запасов, которые выражаются в определенных издержках. Эти издержки бывают трех основных видов:

■ на размещение заказов;

■ на хранение;

■ потери, связанные с недостаточным уровнем запасов.

Последние имеют место при исчерпании запасов. В этом случае продажа готовой продукции или предоставление обслуживания невозможно, кроме того, возникают потери от простоя производственных линий, в частности в связи с необходимостью оплаты труда работников, хотя они не работают в данный момент.

Поддержание высокого уровня запасов избавляет от потерь. Закупка в больших количествах материалов, необходимых для создания запасов, во многих случаях сводит к минимуму издержки на размещение заказов, поскольку фирма может получить соответствующие скидки и снизить объем «бумажной работы». Однако эти потенциальные выгоды перекрываются дополнительными издержками — расходами на хранение, перегрузку, выплату процентов, затратами на страхование, потерями от порчи, воровства и дополнительными налогами.

Кроме того, руководство должно учитывать возможность связывания оборотных средств избыточными запасами, что препятствует вложению капитала в приносящие прибыль акции, облигации или банковские депозиты. Разработано несколько специфических моделей, помогающих руководству установить, когда и сколько материалов заказывать в запас, какой уровень незавершенного производства и запаса готовой продукции поддерживать [32].

В практической деятельности организации часто используются следующие системы регулирования товарных запасов [52].

Система с фиксированным размером заказа — наиболее распространенная система, в которой размер заказа на пополнение запасов — постоянная величина, а поставка очередной партии товара осуществляется при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня, называемого точкой заказа. Регулирующие параметры системы с фиксированным размером заказа — это:

■ точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, при снижении до которого организуется заготовка очередной партии товара;

■ размер заказа, т.е. величина партии поставки.

Данную систему часто называют «двухбункерной», так как запас хранится как бы в двух бункерах: в первом — для удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой следующего ближайшего заказа, а во втором — для удовлетворения спроса н течение периода от момента подачи заказа до поступления очередной партии товара, т.е. во втором бункере хранится запас на уровне точки заказа.

Система с фиксированной периодичностью заказа — заказы на очередную поставку товарного запаса повторяются через равные промежутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и определяется размер заказываемой партии. При этом запас пополняется каждый раз до определенного уровня, не превышающего максимальный запас. Таким образом, регулирующие параметры этой системы — это:

■ максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение;

■ продолжительность периода повторения заказов.

Система с фиксированной периодичностью заказа эффективна, когда имеется возможность пополнять запас в различных размерах, причем затраты на оформление заказа любого размера невелики. Одним из достоинств этой системы можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систематический учет движения остатков. К недостаткам системы относится то, что она не исключает возможность нехватки товарных запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов и фиксированной периодичностью заказа — допустимый уровень запасов регламентируется как сверху, так и снизу. Кроме максимального верхнего уровня запаса устанавливается нижний уровень (точка заказа).

Если размер запаса снижается до нижнего уровня раньше наступления фиксированного времени пополнения запаса, то делается внеочередной заказ. В остальных случаях система функционирует как система с фиксированной периодичностью заказа. В данной системе имеется три регулирующих параметра:

■ максимальный уровень запаса;

■ нижний уровень запаса (точка заказа);

■ длительность периода между заказами.

Первые два параметра постоянны, третий — частично переменный. Рассматриваемая система сложнее предыдущей, однако она позволяет исключить возможность нехватки товарного запаса. Недостаток системы в том, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.

Система с двумя фиксированными уровнями запасов без постоянной периодичности заказа, или (s, ^-стратегия управления запасами, — эту систему называют также (5Ч?)-стратегией, или системой «максимум-минимум». Рассмотрим (s, ^-стратегию управления запасами более подробно. Это модификация предыдущей системы, но она устраняет недостаток предыдущей системы. В этой системе два регулирующих параметра:

■ нижний (критический) уровень запаса я; м верхний уровень запаса S.

Если через х обозначить величину запасов до принятия решения об их пополнении, через р — величину пополнения, а через)' = х + р — величину запасов после пополнения, то (я, ^-стратегия управления запасами задается функцией

Г х при х> s

У(х) = L . .

[5 при x<s

г.е. пополнения не происходит, если имеющийся уровень запасов больше критического уровня я; если имеющийся уровень меньше или равен s, то принимается решение о пополнении запаса обязательно до верхнего уровня S, так что величина пополнения равна p-S-x.

Саморегулирующиеся системы управления запасами. Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий их функционирования. На практике такое постоянство условий встречается редко, что вызвано изменениями потребности в товарных запасах, условиями их поставки и т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования (адаптации к изменившимся условиям). Создаются системы с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминированные) условия. В каждой такой системе в рамках соответствующей экономико-математической модели управления запасами устанавливается определенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы. В качестве целевой функции в моделях управления, запасами чаще всего используется минимум затрат, связанных с заготовкой и хранением запасов, а также потери от дефицита. К элементам целевой функции при построении саморегулирующихся систем управления запасами относятся:

- затраты, связанные с организацией заказа и его реализацией, начиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех услуг по доставке товарных запасов на склад. Часть расходов, связанных с организацией заказов, не зависит от размера заказа, но зависит от количества этих заказов в год. Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от размера заказанной партии, причем расходы в расчете на единицу товара уменьшаются при увеличении размера партии;

- затраты, связанные с хранением запаса. Часть издержек хранения носит суточный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.), другая часть прямо зависит от уровня запасов (расходы на складскую переработку товарных запасов, потери от порчи, издержки учета и др.). При расчетах на основе экономико-математических моделей управления запасами обычно пользуются удельной величиной издержек хранения, равной размеру издержек на единицу хранимого товара в единицу времени. При этом предполагают, что издержки хранения за календарный период прямо пропорциональны размеру запасов и длительности периода между заказами и обратно пропорциональны количеству заказов за этот период.

3) потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственность за неудовлетворение потребности потребителей по причине отсутствия запасов [52]. Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-сбытовая организация может нести убытки в виде штрафа за срыв поставки. Вероятность дефицита — это ожидаемая относительная частота случаев нехватки товарной продукции в течение более или менее продолжительного интервала времени. Иногда вероятность дефицита определяется как частное отделения числа дней, когда товар на складе отсутствует, на общее число рабочих дней, например, в году.