Когерентность

Когерентность — важнейшее свой­ство оптического излучения с точки зрения применения оптического сигнала в качестве носителя информации. Именно когерентность определяет наиболее впечатляющие перспективы оптоэлектроники и выделяет два направления развития оптоэлектроники (см. введение). Когерентность характеризует согласованность между фазами колебаний в различных точках пространства в один и тот же момент времени — пространственная когерентность — или между фазами колебаний в одной и той же точке пространства в различные моменты времени — временная когерентность. Наблюдать изменение фазы волны можно только в резуль­тате интерференции данной волны с другой, когерентной ей волной. Чем выше когерентность источника излучения, тем четче и ярче будет интерференционная картина двух когерентных волн.

/

ν0

Рис. 1.17. Связь между длинами волн и спект­ром излучения

Абсолютно когерентный источник — это монохромати­ческий точечный источник излучения. Однако в действительости не существует ни монохроматических, ни точеч­ных источников: Степень отклонения от монохроматичности характеризуется степенью временной когерентности источ­ника; отклонение размеров источника от точечных харак­теризуют степенью пространственной когерентности.

Как уже отмечалось, атомы излучают волновыми паке­тами (цугами). Длина излучаемого волнового пакета и спектр излучения связаны между собой. Чем длиннее вол­новой пакет, тем уже спектр излучения (рис. 1.17). Только в предельном случае волны бесконечной длины можно по­лучить монохроматическое излучение с частотой ν0.

Рассмотрим интерференцию немонохроматического излу­чения в простом интерферометре, состоящем из полупро­зрачной пластины G и двух плоских зеркал М1 и М₂. Уста­новим зеркала М1 и М₂ таким образом, чтобы они были перпендикулярны друг другу и составляли угол 45° с пла­стиной G.

Немонохроматическое излучение источника S представ­ляет собой волновой цуг между объективом G и пластиной (рис. 1.18). В точке I волновой цуг разделяется на два цуга, один из которых проходит путь 1, а другой путь 2. Если зеркало М₂ занимает положение, показанное на рис. 1.18 пунктиром, то цуг, следующий по пути 2, прохо­дит в обе стороны меньшее расстояние, чем волновой цуг, прошедший путь 1. На выходе интерферометра цуг 1 от­стает от цуга 2 по времени на τ, называемое временем запаздывания и характеризующее согласование фаз двух волн во времени. Если время запаздывания много меньше длительности каждого из волновых цугов, то на выходе интерферометра такие волно­вые цуги будут практически совпадать друг с другом и да­вать очень четкую, контраст­ную интерференционную кар­тину. При этом говорят, что между рассмотренными коле­баниями существует времен­ная когерентность.

Рис. 1.8. К определению вре­менной когерентности

Рассмотрим теперь доста­точно протяженный — не то­чечный — источник излучения, состоящий из большого чис­ла точечных источников, на­пример атомов излучающего вещества. Если размеры источника малы, то все атомы дают одну и ту же интерференционную картину и общая картина имеет такой же вид, как и картина для отдельно­го атома, по гораздо ярче. Это случай пространственной когерентности. При увеличении диаметра источника рас­стояния между интерференционными полосами, создавае­мыми различными атомами, из-за разности хода волн (т. е. рассогласования фаз колебаний в пространстве) не одинаковы. Максимумы и минимумы интерференционных картин не совпадают друг с другом. Полосы становятся более размытыми, картина менее четкой. В таком случае говорят, что имеет место частичная пространственная ко­герентность источника излучения. При дальнейшем увели­чении диаметра источник становится пространственно не­когерентным. Таким образом, пространственная когерент­ность излучения зависит от размеров источника излу­чения.

Согласование фаз, т. е. когерентность двух источников излучения, характеризуется степенью взаимной когерент­ности

γ12(τ). При γ12(τ)=0 интенсивность излучения в не­которой точке равна сумме интенсивностей колебаний, приходящих от каждого из источников, и эти колебания некогерентны. Если же колебания когерентны, то суммарная интенсивность может быть как больше этой суммы, так и меньше ее (в частности, равна нулю). Итак, степень взаимной когерентности равна:

где Iтах и Iтт — максимальная и минимальная интенсив­ности в интерференционной картине.

(1.12)

Степень временной когерентности характеризует взаим­ную когерентность для данной точки пространства и связа­на со спектральной плотностью потока излучения следую­щим образом:

∞

γ12(τ)= ─────────────────

∞

где τ — время запаздывания.

Степень взаимной когерентности при времени запазды­вания, равном нулю, называется степенью пространствен­ной когерентности γ12 (0). Следствием высокой степени пространственной когерентности является возможность получения высокой направленности излучения. Некогерент­ное излучение всенаправленно, имеет низкую направлен­ность излучения.

Источник излучения состоит из очень большого числа атомов, и излучение источника в данный момент времени в данной точке про­странства является некоторой суммой колебаний, испускаемых раз­личными атомами. Фазы колебаний, их согласованность должны рас­сматриваться при этом как случайные функции времени. Математи­чески такие случайные процессы и степень их согласованности опи­сываются теорией корреляции. Остановимся коротко на некоторых по­ложениях этой теории.

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, причем заранее неизвестно, какой именно. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется .реализацией случайной функции. Если произвести несколько опытов, то получится семейство .реализаций случайной функции.

Рассмотрим значения реализаций случайной функции в опреде­ленный момент времени. При этом будем иметь некоторую совокуп­ность случайных величин, которая называется сечением случайной функции. Параметрами случайной функции в любом ее сечении ябля-

ются вероятностные характеристики, например. математическое ожи­дание или дисперсия.

Математическим ожиданием случайной функции у(t) называется функция т_у(t), которая при каждом значении аргумента t равна ма­тематическому ожиданию соответствующего сечения случайной функ­ции. Математическим ожиданием т_у(t) случайной функции называется ее средневзвешенное значение, т. е. среднее значение, вычисленное с учетом «веса» каждого значения, пропорционального его вероят­ности:

п

М [у(t)] = т_у(t)=∑ yi•pi

i=1

где уi — возможное значение случайной величины (или случайной функции в ее сечении); Рi — вероятность этого значения.

функции

Математическое ожидание т_у(t) случайной функции у{t) есть некоторая средняя функция, около которой различным образом рас­полагаются реализации случайной функции (рис. 1.9).

Математическое ожидание характеризует случайную функцию (и соответственно случайный процесс) в любом сечении, но оно не дает зависимости между сечениями, относящимися к различным моментам времени. Такую связь и вообще взаимосвязь случайных процессов опи­сывают корреляционной функцией и степенью взаимной корреляции.

Корреляционной функцией случайной функции у{t) называется неслучайная функция двух аргументов К_у(t 1 ,t 2 ), которая при каждой паре значений аргументов t 1 , t 2 равна:

o o

К_у(t1 ,t2 )= М[у(t1)y(t₂)], (1.13)

где o

y{t 1) =У(t1)─mу( t1)

o

y{t 2) =У(t2)─mу( t2)

При t 1 = t 2 корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции:

К_у =D(t)=D[У(t1)].

Степень корреляции r1,2 — это представление корреляционной функ­ции в нормированном виде:

Ку(t 1 , t 2)

r1,2(t 1 , t 2) = ▬▬▬▬▬▬ .

√Dy(t1)Dy(t2)

Степень корреляции характеризует глубину корреляции: при г₁₂=0 корреляция отсутствует; при r1,2=1 корреляционная связь практически превращается в функциональную, при которой каждому значению од­ной из переменных соответствует определенное значение другой.

Связывая теорию корреляции с когерентностью колебаний, необ­ходимо подчеркнуть, в частности, что степень взаимной когерентности совпадает с огибающей нормированной функции корреляции электри­ческого поля излучения, т. е. со степенью корреляции.