Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Сравнение двух генеральных средних

Читайте также:
  1. II 8. СРАВНЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ
  2. IV. СРАВНЕНИЕ ЖИТЕЙСКИХ СЛУЧАЕВ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ОПЫТОВ.
  3. V. Решение и сравнение выражений.
  4. V. Решение и сравнение выражений.
  5. V. Сравнение выражений.
  6. Алгоритм 1.4. Расчет средних групповых значений результативного признака
  7. Арабская (арабоязычная) философия средних веков
  8. В1.Задание на сравнение
  9. В1.Задание на сравнение
  10. Вариационный ряд и методы вычисления средних величин.

 

Рассмотрим две независимые выборки x1,x2,...,xnи y1,y2,...,yn, извлеченные из нормальных генеральных совокупностей с одинаковыми дисперсиями , причем объемы выборок соответственно n и m, а средние и дисперсия неизвестны. Требуется проверить гипотезу о том, что . Альтернативной является гипотеза .

Как известно, выборочные средние – нормально (или приблизительно - нормально) распреде-ленные величины, следовательно, их разность – нормальная величина со средним и дисперсией, которая вычисляется по формуле:

Если бы дисперсия была известна, мы могли бы для проверки гипотезы воспользоваться свойствами и таблицами нормального распределения, как мы это делали при построении довери-тельного интервала для среднего при известной дисперсии. В силу того, что неизвестна, заменим в наших рассуждениях неизвестную дисперсию на ее эмпирический аналог.

Итак, для проверки гипотезы построим статистику:

,

где

Теперь к статистике t применим те же рассуждения, которые мы применяли к статистике Т.

Если гипотеза верна, статистика t имеет распределение Стьюдента с n+m–2 степенями свободы и в качестве области Ibможно взять интервал, симметричный относительно 0, в который величина x, распределенная по Стьюденту, попадает с вероятностью b, т.е.

Ib= [–tn+m–2;b+tn+m–2;b], где P(|x| < tn+m–2;b) = b.

Таким образом, если нам заданы две выборки и уровень значимости a, мы вычисляем значение статистики t и ищем по a, n и m в таблице 6 (в ней содержатся критические значения распределения Стьюдента) значение tn+m–2;a. Если выполняется

то мы принимаем гипотезу о том что . И отвергаем гипотезу , если это неравенство не выполняется, так как произошло событие из дополнительной области, вероятность которой a. На рисунке 4.1 заштрихованная площадь (вероятность попасть в область) равна

,

на рисунке 4.2 заштрихована площадь a = 1–b области, где гипотеза не принимается.

 

Рисунок 4.1 Рисунок 4.2

 

Если оказалось, что , можно проверять гипотезу о том, что , когда альтернативной гипотезой является .В этом случае строится “односторонняя” область, попадание в которую дает основание принять основную гипотезу. А именно, в таблице 6 в нижней строке отыскивается a = 1 – b, где b – заданный уровень доверия, в строке с нужным числом степеней свободы находим границу интервала tn+m–2;a. Далее, если выполняется:



то первая гипотеза неверна и принимается, что .

Можно проверять гипотезу о том, что , когда альтернативной гипотезой является . В этом случае также строится “односторонняя” область, попадание в которую дает основание принять первую гипотезу (рисунок 4.3). А именно, гипотеза о том, что не принимается, а принимается гипотеза тогда, когда

C помощью нижней строки таблица 6 распределения Стьюдента (см. приложение 3) мы решали уравнения:

P{d < –tn+m–2;a} = a, и P{d > tn+m–2;a} = a,

где a – уровень значимости.

Рисунок 4.3

Замечание.Было бы корректно сначала проверить гипотезу о равенстве дисперсий с помощью их выборочных оценок. Во второй части нашего руководства мы научимся делать такую проверку. Использовать значение статистики Т можно только, если прошла гипотеза о равенстве дисперсий. Если дисперсии и неизвестны и не предполагается, что они равны, статистика Т также имеет распределение Стьюдента. Но соответствующее ему число степеней свободы опреде-ляется приближенно и более сложным образом.



Итак, перечислим критерии, по которым проверяется статистическая гипотеза о том, что средние значения двух генеральных совокупностей, имеющих одинаковые дисперсии, совпадают (mx= my) на уровне значимости a. Они выведены из формул для двустороннего и одностороннего доверительного интервала для уровня доверия b = 1–a.

Вычисляем по выборке значение статистики t:

,

где

.

1. Критическая область для односторонней проверки гипотезы, что средние значения двух генеральных совокупностей совпадают ( ) по сравнению с альтернативой на уровне значимости a определяется неравенством:

|t| > tn–1;a

(tn–1;aотыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, a в нижней строке).

2. Критическая область для односторонней проверки гипотезы, что средние значения двух генеральных совокупностей совпадают ( ) по сравнению с альтернативой на уровне значимости a определяется неравенством:

t > tn–1;a

(tn–1;aотыскивается по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, a в нижней строке).

Если вычисленное значение статистики t попадает в критическую область, то основная гипотеза отвергается. Вероятность попадания в эту область равна принятому уровню значимости a. В этом случае принимается альтернативная гипотеза.

Пример 4.2. Результаты исследования двух сортов резины на покрышках (в баллах) приведены в таблице:

 

Номер покрышки
Износ для сорта А
Износ для сорта В

 

Сделать проверку гипотезы о том, что резина сорта А больше изнашивается, чем резина сорта В.


Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 13; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Проверка гипотезы о равенстве среднего числовому значению | Решение.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2017 год. (0.013 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты