КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определенный интегралСправочный материал
1. Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьем произвольным образом этот отрезок точками a=x0<x1<x2<…<xn=b на n частичных отрезков длиной Δxi=xi-xi-1, i=1, n. Выберем в каждом из них точку сi. Сумма вида (1)
называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называют предел интегральной суммы (1)при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Δxi стремится к нулю: (2) f(x) – подынтегральная функция [a; b] – отрезок интегрирования a и b – нижний и верхний пределы интегрирования - длина наибольшего частичного отрезка.
Геометрический смысл определенного интеграла: Если f(x)≥0 , то определенный интеграл от непрерывной функции y=f(x) равен площади криволинейной трапеции, заключенной под графиком функции y=f(x) на отрезке [a; b]: (3)
2. Свойства определенного интеграла: 1° - определенный интеграл не зависит от обозначения переменной;
2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° Если f(x) ≤ g(x), то - (неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать). 9° Если m, M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на [a; b], то - оценка интеграла. 10° Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на [a; b], то :
3. Формула Ньютона – Лейбница.Если F(x) – какая-нибудь первообразная функции f(x), то (4) т.е. определенный интеграл равен приращению первообразной на отрезке интегрирования.
|