Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Электростатика. Электрический ток

Читайте также:
  1. Вопрос 2. Электрический ток (определение, сила тока, единицы измерения, направление тока, плотность тока), работа и мощность тока.
  2. Вопрос 23. Электрический ток и его воздействие на организм человека
  3. Вынужденные электромагнитные колебания. Электрический резонанс.
  4. Какой электрический ток называют переменным?
  5. Лекция 15. Постоянный электрический ток.
  6. Магнитоэлектрический логометр.
  7. Магнитоэлектрический преобразователь.
  8. На рисунке изображен проволочный виток, по которому течет электрический ток в направлении, указанном стрелкой.
  9. Постоянный электрический ток.
  10. Постоянный электрический ток. Условия его существования. Сила тока. Напряжение. Сопротивление.

1. Закон Кулона

,

где - сила, с которой заряд q1 действует на заряд q2; - равная ей и противоположно направленная сила; - радиус – вектор, направленный от q1 к q2, а r - модуль ; - диэлектрическая проницаемость среды; Е0 – напряженность электростатического поля в вакууме; Е – напряженность электростатического поля внутри однородного диэлектрика; e0 - электрическая постоянная.

2. Напряженность электрического поля и потенциал

где Wп - потенциальная энергия положительного точечного заряда q, находящегося в данной точке поля.

Сила, действующая на точечный заряд q, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда

; Wп = qj.

3. Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q

где r - расстояние от заряда q до точки, в которой определяются напряженность или потенциал.

4. Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции полей).

где i , ji - напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого i-м зарядом.

5. Напряженность и потенциал поля, создаваемого сферой радиусом R на расстоянии r от центра сферы:

а)

б)

в)

где q - заряд сферы.

6. Линейная плотность заряда: или t = q/l.

Поверхностная плотность заряда: или s = q/S.

Объемная плотность заряда: или r=q/V.

Связь заряда и плотностей: dq = sdS = td l= rdV.

7. Напряженность и потенциал поля, создаваемого распределенными зарядами. Если заряд равномерно распределен вдоль линии с линейной плотностью t, то на линии выделяется малый участок длиной dl с зарядом dq = tdl. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы:

где - радиус-вектор, направленный от выделенного элемента dl к точке, в которой вычисляется напряженность, а r – его модуль.

Используя принцип суперпозиции электрических полей, находим интегрированием напряженность и потенциал j поля, создаваемого распределенным зарядом:

Интегрирование ведется вдоль всей длины l заряженной линии.

8. Напряженность поля, создаваемого бесконечно прямой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,

где r - расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность поля.



Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью,

.

9. Электрическое смещение (электрическая индукция)

.

Теорема Гаусса:

или .

10. Связь потенциала с напряженностью:

а) или в общем случае, где , , - единичные векторы вдоль осей координат (орты);

б) в случае однородного поля;

в) в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией.

 

11. Электрический момент диполя

,

где q – заряд; l - плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положительному и численно равная расстоянию между зарядами).

12. Работа сил поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом j1, в точку с потенциалом j2

.

13. Электроемкость уединенного тела и конденсатора

С = , С = ,

где j - потенциал проводника; U - разность потенциалов пластин конденсатора.

Следует помнить, что при изменении электрической емкости конденсатора, подключенного к источнику напряжения, меняется величина заряда на его пластинах, а разность потенциалов остается постоянной и равной э.д.с. источника тока. При изменении емкости конденсатора, отключенного от источника напряжения, меняется разность потенциалов на его пластинах, а величина заряда остается при этом неизменной.



Электроемкость плоского конденсатора

C = ,

где S - площадь одной пластины конденсатора; d - расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:

а) при последовательном соединении;

б) при параллельном соединении,

где N- число конденсаторов в батарее.

Энергия заряженного конденсатора:

W = qU/2 =CU2/2 = q2/(2C),

,

где V – объем конденсатора.

Объемная плотность энергии электрического поля:

.

14. Сила тока

где q - заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность тока

j = I/S,

где S - площадь поперечного сечения проводника.

Связь плотности тока со средней скоростью упорядоченного движения заряженных частиц

,

где q - заряд частиц; n – их концентрация.

15. Закон Ома:

a) для участка цепи, не содержащего э.д.с. (для однородного участка цепи), где j1 - j2 = U - разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R - сопротивление участка;

б) для участка цепи, содержащего э.д.с. (для неоднородного участка цепи), где e - э.д.с. источника тока; R - полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений). Знаки «+» или «–» выбираются в зависимости от полярности включения источника.

в) для замкнутой (полной) цепи, где R - сопротивление внешней цепи, r - сопротивление внутреннее (сопротивление источника тока).

16. Правила Кирхгофа:

а) - первое правило;

б) - второе правило,

где - алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; - алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков замкнутого контура; - алгебраическая сумма э.д.с. в замкнутом контуре.

17. Сопротивление R и проводимость G однородного проводника

R = , G = ,

где r - удельное сопротивление; g - удельная проводимость; l - длина проводника; S - площадь поперечного сечения.

Зависимость удельного сопротивления от температуры

,

где α – температурный коэффициент сопротивления, t – температура по шкале Цельсия.

Сопротивление системы проводников;

а) - при последовательном соединении;

б) - при параллельном соединении,

где Ri - сопротивление i - го проводника.

18. Работа тока:

.

Закон Джоуля-Ленца (тепловое действие тока):

где dQ – количество теплоты, выделяющейся в проводнике, dt – промежуток времени, в течение которого выделялось тепло.

Мощность тока полной цепи:

P = I ε.

Мощность тока на внешнем участке цепи:

P = IU = I2R = U2/R.

Закон Ома в дифференциальной форме

.

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

w = γ E2,

где w - объемная плотность тепловой мощности (количество тепла, выделяющегося в единице объема за единицу времени).

 

3.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

№ 1. Два точечных заряда 9q и -q закреплены на расстоянии l = 50 см друг от друга. Третий заряд q1 может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда q1, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда q1 равновесие будет устойчи­вым?

Р е ш е н и е.

Заряд q1 будет нахо­диться в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это означает, что на заряд q1 должны действовать две силы, равные по величине и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 1) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд q1 - положительный.

На участке I (рис. 1,а) на заряд q1 будут действовать две противоположно направленные силы F1 и F2. Сила F1, действующая со стороны заряда 9q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F2, действующая со стороны заряда -q, так как больший (по абсолютной величине) заряд 9q будет находиться всегда ближе к заряду q1 , чем меньший заряд -q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. 1,б) обе силы F1 и F2 направлены в одну сторону - к заряду -q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. 1,в) силы F1 и F2 направлены в противоположные стороны, также как и на участке I, но в отличие от него меньший (по абсолютной величине) заряд (-q) всегда находится ближе к заряду q1, чем больший заряд 9q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы F1 и F2 будут одинаковы по абсолютной величине, т.е.

F1 = F2. (1)

Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда q1 будетх, тогда расстояние от большегоl+х. Заменяя в равенстве (1) F1 и F2 в соответствии с законом Кулона, получим для абсолютной величины этих сил:

.

Сокращая на qq1 и извлекая из обеих частей равенства корень квадратный, найдем

l + х = Зх,

откуда

х = + 1/2.

Определим знак заряда q1, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда q1 в двух случаях: когда заряд положителен и когда заряд отрицателен.

Если заряд q1 положителен, то при смещении его влево обе силы F1 и F2 возрастают. Но F2 (по абсолютному значению) больше, чем F1, и на заряд q1 будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд q1 удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда q1 вправо. Сила F2 будет убывать быстрее, чем F1. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд q1 отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F1 и F2, но сила F1 возрастает медленнее, чем F2, т.е. |F2| > |F1|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд q1 возвращается к положению равновесия. При смещении q1 вправо сила F2 убывает быстрее, чем F1, т.е. |F1| > |F2|, результирующая сила направлена влево и заряд q1 опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда q1 несущественна.

 

№ 2. Три точечных заряда q1 = q2 = q3 = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Р е ш е н и е.

Все три заряда, распо­ло­жен­ные по вершинам треу­голь­ника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треу­голь­ника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например q1, находился в равновесии. Заряд q1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис 2):

, (1)

где , , - силы, с которыми соответственно действуют на заряд q1 заряды q2, q3, q4; - равнодействующая сил и .

Так как силы и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным равенством F – F4 = 0, откуда

F4 = F.

Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учитывая, что F3 = F2 , получим .

Применяя закон Кулона, и имея в виду, что q2 = q3 = q1, найдем

,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике (α=60°) следует, что

.

С учетом этого формула (2) примет вид

.

Подставив числовое значение q1 = 1 нКл = 10-9Кл, получим

.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

 

№ 3. Тонкий стержень длиной l = 20 см несет равномерно распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q1 = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плот­ность τ заряда на стержне.

Р е ш е н и е.

При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. Выделим на стержне (рис. 3) малый участок dr с зарядом dq = τdr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

, (1)

где - сила взаимодействия заряда q1 и заряда, участка dr. Так как все сонаправлены, можно воспользоваться скалярным выражением для :

(2)

Интегрируя это выражение в пределах от а до а+ l, получим

,

откуда интересующая нас линейная плотность заряда равна

.

Выразим все величины в единицах СИ: q1 = 40 нКл = 4·10-8Kл, F = 6 мкН = 6·10-6 Н, l = 0,2м, а = 0,1м, Ф/м., ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.

Подставим числовые значения величин в полученную формулу и произведем вычисления:

Кл/м = 2,5·10-9 Кл/м = 2,5 нКл/м.

 

№ 4. Два точечных электрических заряда q1 = 1 нКл и q2 = -2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10см друг от друга. Определить напряженность и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точкеА, удаленной от заряда q1, на расстояние r1 = 9 см и от заряда q2 на r1 = 7 см.

Р е ш е н и е.

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядом q1, равна

, (1)

зарядом q2 -

. (2)

Вектор (рис. 4) направлен по силовой линии от заряда q1, так как заряд q1 положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q2, так как заряд q2 отрицателен.

Абсолютное значение вектора Е найдем как следствие из теоремы косинусов:

, (3)

где α – угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d по теореме косинусов:

,

.

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos α вычислить отдельно:

.

Подставляя выражение Е1, из формулы (1) и E2 из формулы (2) в равенство (3) и вынося общий множитель 1/(4 πε0) за знак корня, получим

. (4)

Подставим числовые значения величин в формулу (4) и произведем вычисления:

3,58 кВ/м.

При вычислении Е знак заряда q2 опущен, так как знак заряда определяет направление вектора напряженности, а направление было учтено при его графическом изображении (рис. 4).

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φ результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т. е.

φ = φ1 + φ2. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии г от него, выражается формулой

. (6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получим

,

или

.

Подставляя в это выражение числовые значения физических величин, получим

.

№ 5. Точечный заряд q = 25 нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью σ= 0,2 нКл/см2, Определить силу F, действующую на заряд, если его расстояние от оси цилиндра r = 10 см.

Р е ш е н и е.

Численное значение силы F, действующей на точечный заряд q, находящийся в поле, определяется по формуле

F = qE, (1)

где Е - напряженность поля, создаваемого заряженным цилиндром.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

, (2)

где τ - линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность τ через поверхностную плотность σ. Для этого выделим элемент цилиндра длиной l и выразим находящийся на нем заряд q двумя способами:

q = σS = σ·2·π·Rl; q = τL.

Приравняв правые части этих равенств, и сократив на l, получим

τ= ·Rσ.

С учетом этого формула (2) примет вид

.

Подставив это выражение в (1), получим искомую силу F:

. (3)

Выпишем в единицах СИ числовые значения величин: q = 25 нКл = 2,5·10-8 Кл, σ=0,2 нКл/см2 = 2·10-6 Кл/м2, ε0 = 8,85·10-12 Ф/м. Так как R и r входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах. Подставим в (3) числовые значения величин:

.

Направление силы совпадает с направлением напряженности , а последняя направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.

 

№ 6.Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 6 см и R2 = 10 см несут соответственно заряды q1 = 1 нКл и q2 = -0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r1 = 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см.

Р е ш е н и е.

Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (см. рис. 5): области I (r1 < R1), области II (R1 < r2 < R2), области III (r3 > R2).

1. Для определения напряженности Е1 в области I проведем замкнутую сферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремой Гаусса:

(так как суммарный заряд, находящийся внутри данной замкнутой поверхности, равен нулю). Следовательно, Е1 (напряженность поля в области I) во всех точках, удовлетворяющих условию r1 < R1, будет равна нулю.

2. В области II замкнутую поверхность проведем радиусом r2. В этом случае

,

(так как внутри этой замкнутой поверхности находится только заряд q1).

Так как Еn = Е = const, то Е можно вынести за знак интеграла:

,

или

.

Обозначив напряженность Е для области II через Е2, получим

,

где S2 = 4π·r22 – площадь замкнутой сферической поверхности. Тогда

. (1)

3. В области III сферическая поверхность проводится радиусом r3. Обозначим напряженность Е области III через Е3 и учтем, что в этом случае замкнутая поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен q1 + q2. Тогда

.

Выразим все величины в единицах Си (q1 = 10-9 Кл, q2 = -0,5·10-9Кл, r1 = 0,05 м, r2 = 0,09 м, r3 = 0,15 м, 1/(4πε0) = 9·109 м/Ф) и произведем вычисления

;

.

 

№ 7. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал φ электрического поля, создава­емого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет одну треть длины окружности и равна 16 см.

Р е ш е н и е.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Y была бы симметрично расположена отно­си­тельно концов дуги (рис. 6).

На нити выделим элемент длины dl. Заряд dq = τdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Определим напряженность электрического поля в точке 0. Для этого найдем сначала напряженность поля, создаваемого зарядом dq:

,

где r - радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряженность в которой вычисляется.

Выразим вектор через проекции dEх и dEу на оси координат:

,

где и - единичные векторы направлений (орты).

Напряженность найдем интегрированием:

.

Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу симметрии интеграл равен нулю. Тогда

, (1)

где .

Так как r = R = const, dl = Rdθ, то .

Подставим найденное значение dEу в выражение (1)и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Y, пределы интегрирования возьмем от 0 до π/З, а результат удвоим:

.

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3·l = 2πR), получим

.

Из этой формулы видно, что вектор совпадает с положительным направлением оси Y.

Подставим значения τ и l в полученную формулу и произведем вычисления:

.

Найдем потенциал электрического поля в точке 0. Сначала найдем потенциал , создаваемый точечным зарядом dq в точке 0:

.

Заменим r на R и произведем интегрирование:

.

Так как l = 2πR/З, то φ = τ/6ε0. Произведем вычисления:

.

 

№ 8. На пластинах плоского конденсатора находится заряд q = 10 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см2, диэлектрик - воздух. Опреде­лить силу F, с которой притягиваются пластины.

Р е ш е н и е.

Заряд q второй пластины находится в поле напряженностью Е1, созданном зарядом первой пластины конденсатора. Следовательно, на заряд q действует сила (рис. 7)

F = qE1. (1)

Так как

, (2)

где σ - поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) с учетом выражения (2) примет вид

. (3)

Подставив числовые значения величин в формулу (3), подучим

.

 

№ 9. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ= 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а1 = 0,5 см и а2 = 2 см от поверхности цилиндра в средней его части.

Р е ш е н и е.

Для определения разности потенциалов воспользуемся соотно­шением между напряженностью поля и изменением потенциала:

.

Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

, или dφ = - Er dr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для напряженности можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

.

Подставив выражение Е в (1), подучим

,

или

. (2)

Выразим τ и 1/2πε0 в единицах СИ: τ= 20 нКл/м = 2·10-8 Кл/м, ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.

Так как величины r1 и r2 входят в формулу (2) в виде отношения, их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: r1 = R + а1 = 1,5 см; r2= R + а2 = 3 см. Подставим числовые значения в (2) и вычислим:

.

№ 10. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v1 = 106 м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.

Р е ш е н и е.

Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением заряда электрона е на разность потенциалов U:

А = eU (1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

, (2)

где WК1 и WК2 - кинетические энергии электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m - масса электрона; v1 и v2 - начальная и конечная скорости его.


Дата добавления: 2014-10-31; просмотров: 125; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.091 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты