Координатный способ задания движения

Перейдем от координатного способа задания движения к векторному на основе (2.3). Тогда с учетом (2.6) имеем

(2.7)

Откуда

Следовательно проекции скорости на координатные оси определяются первыми производными по времени от соответствующих координат. Модуль скорости

.

(2.8)

Направляющие косинусы вектора скорости относительно координатных осей определяются выражениями (рис. 2.7):

5.3.3. Естественный способ задания движения

Дана траектория точки и закон изменения координаты по этой траектории

Пусть в момент времени t точка занимала положение М, а в момент времени t₁ положение М₁ (рис. 2.8).

За время координата получила приращение , тогда то есть средняя скорость равна отношению приращения криволинейной координаты к соответствующему промежутку времени.

Для нахождения истинной скорости перейдем к пределу

то есть

(2.9)

Численное значение скорости точки при естественном способе задания движения определяется первой производной по времени от криволинейной координаты. Скорость всегда направлена по касательной к траектории точки.

Пример 2.3. Определить скорость точки при t = 1 c, для ее движения по закону м. На основе (2.9) находим . Для заданного момента времени то есть скорость направлена влево (рис. 2.8).

Пример 2.4. Точка M движется в соответствии с уравнениями

, м; , м.

(а)

Определить величину и направление вектора скорости точки и указать ее положение на траектории в момент времени .

Решение. Исключая время из уравнений движения, по аналогии с примером 2.1, найдем уравнение траектории

.

(б)

Следовательно, в данном случае точка движется по эллипсу (рис. 2.9). При точка имела координаты ; м. В заданный момент времени t координаты точки м, м. Найдем проекции вектора скорости на оси координат:

, м/с; , м/с.

При ; м/c; м/c; тогда модуль скорости м/с. Направление вектора скорости можно найти по его проекциям на оси координат, или по направляющим косинусам. В частности, ( ). Очевидно, при выполнении рисунка в масштабе вектор скорости , найденный по его проекциям и , должен быть направлен по касательной к траектории в точке M.