Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем

1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем, как показано на графике.

Угловое перемещение (в радианах) в промежутке времени от 4 с до 8 с равно …

Решение:
По определению . Отсюда и (индекс z у не пишем. Считаем, что может быть положительным и отрицательным). Используя геометрический смысл интеграла, искомый угол можно найти как площадь двух треугольников. Площадь первого (от 4 с до 6 с)- поворот на угол рад, площадь второго (от 6 с до 8 с)- поворот на угол рад ( в обратном направлении). Следовательно, с 4 по 8 с тело повернется на угол рад.

2. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем, как показано на графике:

Через 11 с тело окажется повернутым относительно начального положения на угол ___

Решение:
По определению . Отсюда и .(индекс z у не пишем. Считаем, что может быть положительным и отрицательным). Используя геометрический смысл интеграла, искомый угол можно найти как площадь трапеции. Через 4 с после начала вращения тело повернется на угол еще через 7 с – на угол но в обратном направлении. Следовательно, через 11 с тело повернется на угол

3. Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию угловой скорости так, как показано на рисунке. Вектор угловой скорости и вектор углового ускорения направлены в одну сторону в интервалы времени …

			от 0 до и от до
			от 0 до и от до
			от до и от до
			от 0 до и от до

Решение:
По определению угловое ускорение тела , где – его угловая скорость. При вращении вокруг неподвижной оси векторы и коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное. Направление вектора связано с направлением вращения тела правилом правого винта. В интервале времени от 0 до вектор угловой скорости направлен вдоль оси OZ и, поскольку скорость увеличивается ( растет модуль проекции), вектор углового ускорения направлен так же. В интервале времени от до вектор угловой скорости направлен против оси OZ, но скорость при этом также увеличивается ( растет модуль проекции), следовательно, вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости.

4. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной.

При этом правильно изображает направление углового ускорения диска вектор …

Решение:
По определению угловое ускорение тела , где – его угловая скорость. При вращении вокруг неподвижной оси векторы и коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное. Направление вектора связано с направлением вращения тела правилом правого винта. В данном случае вектор ориентирован в направлении 4, и, так как после приложения силы движение становится ускоренным, вектор ориентирован в направлении 4.

5. Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной.

До остановки диска правильно изображает направление угловой скорости вектор …

Решение:
Направление вектора угловой скорости связано с направлением вращения тела правилом правого винта. В данном случае вектор ориентирован в направлении 4. После приложения силы движение становится замедленным.

6. Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса с угловой скоростью, модуль которой изменяется с течением времени по закону . Отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 секунды равно …

Решение:
Нормальное ускорение частицы равно , где R – радиус кривизны траектории. Тангенциальное ускорение определяется выражением . Следовательно, отношение нормального ускорения к тангенциальному через 2 с равно .

7. Диск катится равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью без проскальзывания. Вектор скорости точки А, лежащей на ободе диска, ориентирован в направлении …

Решение:
Качение однородного кругового цилиндра (диска) по плоскости является плоским движением. Плоское движение можно представить как совокупность двух движений: поступательного, происходящего со скоростью центра масс, и вращательного вокруг оси, проходящей через этот центр. Тогда . Поскольку диск катится без проскальзывания, скорость точки диска, соприкасающейся с поверхностью, равна нулю. Отсюда следует, что (Нарисовать вектор _вр в точке касания плоскости). Вектор направлен по касательной к окружности в рассматриваемой точке (для точки А – в направлении 2). Тогда вектор скорости точки А ориентирован в направлении 3.

8. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, изменяется со временем в соответствии с графиком, представленным на рисунке.

Угловое ускорение тела (в единицах СИ) равно …

			0,5
			0,05

Решение:
По определению угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, (неверно, правильно ), где – угловая скорость тела. Связь между модулями угловой скорости вращения тела и линейной скоростью точки, отстоящей от оси вращения на расстояние R, имеет вид . Отсюда , причем R = 10 см = 0,1 м. Из представленного графика начальная скорость м/с, ускорение Итак, зависимость скорости точки от времени в единицах СИ задается уравнением , а зависимость угловой скорости вращения тела – уравнением . ( Т.к. возрастает со временем, то и) Тогда

9. Точка М движется по спирали с равномерно убывающей скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина полного ускорения точки …

			уменьшается
			увеличивается
			не изменяется
			равна нулю

Решение:
Величина полного ускорения определяется соотношением , где и (проекция) тангенциальное и нормальное ускорения соответственно, причем , , где R – радиус кривизны траектории. Так как по условию скорость убывает равномерно (т.е. линейно со временем ), величина тангенциального ускорения остается постоянной. В то же время величина нормального ускорения уменьшается, поскольку при этом радиус кривизны траектории увеличивается, что видно из рисунка ( а скорость уменьшается по условию задачи). Таким образом, полное ускорение точки уменьшается.

10. Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. При этом величина нормального ускорения …

Решение:
Величина полного ускорения определяется соотношением , где и (проекция) тангенциальное и нормальное ускорения соответственно, причем , , где R – радиус кривизны траектории. Так как по условию скорость постоянна, то величина тангенциального ускорения равна нулю. В то же время величина нормального ускорения уменьшается, поскольку при этом радиус кривизны траектории увеличивается, что видно из рисунка.

11. Тело движется с постоянной по величине скоростью по траектории, изображенной на рисунке:

Для величин полного ускорения а тела в точках А и В справедливо соотношение …

Решение:
Величина полного ускорения определяется соотношением , где и (проекция) тангенциальное и нормальное ускорения соответственно, причем , , где R – радиус кривизны траектории. Так как по условию скорость по величине постоянна, то тангенциальное ускорение всюду равно нулю. В то же время величина нормального ускорения в точке А больше, чем в точке В, поскольку радиус кривизны траектории в точке А меньше, чем в точке В, что видно из рисунка. Таким образом, величина полного ускорения в точке А больше, чем в точке В.

12.Камень бросили под углом к горизонту со скоростью V₀. Его траектория в однородном поле тяжести изображена на рисунке. Сопротивления воздуха нет.

Нормальное ускорение на участке А-В-С …

Решение :

Величина полного ускорения определяется соотношением , где и (проекция) тангенциальное и нормальное ускорения соответственно, причем , , где R – радиус кривизны траектории. Полное ускорение равно g Следовательно, .Т.к. в верхней точке траектории , то, очевидно, что на указанном участке увеличивается ( сделать рисунок).

13. Камень бросили под углом к горизонту со скоростью V₀. Его траектория в однородном поле тяжести изображена на рисунке. Сопротивления воздуха нет.

Модуль полного ускорения камня …

во всех точках одинаков

максимален в точках А и Е

максимален в точках В и D

максимален в точке С

Решение:

Величина полного ускорения равна g (Определяется силой, действующей на тело после начала броска). Следовательно, модуль полного ускорения камня во всех точках одинаков