Связь между линейными и угловыми величинами

Модуль вектора перемещения и изменение угла поворота связаны соотношением:

, (1.33)

где радиус–вектор точки , ее радиус вращения (см. рис. 1.4).

Вектор линейной скорости и вектор угловой скорости связаны векторным равенством:

. (1.34)

В скалярном виде справедливо равенство:

. (1.35)

Для вектора полного ускорения справедливы соотношения (1.20)–(1.23), и, кроме того, имеем следующее векторное равенство:

, (1.36)

где вектор тангенциального ускорения, вектор нормального ускорения.

Проекции вектора на орты и (см. рис. 1.3) равны:

, . (1.37)

Модуль полного ускорения равен:

. (1.38)

Вопросы для самоконтроля.

1. Каким соотношением связаны между собой линейная и угловая скорость точки?

2. Каким соотношением связаны между собой угловое ускорение точки с ее тангенциальным ускорением?

3. Каким соотношением связаны между собой угловая скорость точки с ее нормальным ускорением?

§1.7. Плоское движение твердого тела

Плоское движение – такое движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях неподвижных в некоторой системе отсчета.

Примером плоского движения служит качение цилиндра по плоскости. Такое движение твердого тела можно представить как результат сложения двух движений, поступательного и вращательного.

Выберем две системы отсчета и (см. рис. 1.5). Пусть система , связанная жестко с точкой твердого тела движется поступательно относительно системы (см. рис 1.5).

При плоском движении тела его положение в процессе движения определяется положением такого сечения тела , которое лежит в плоскости траектории некоторой точки .

Положение сечения в системе отсчета определяется радиус–вектором произвольной ее точки и углом между осью и вектором точки .

Заметим, что для абсолютно твердого тела модуль вектора не зависит от времени (вектор может только вращаться). Поэтому движение рассматриваемого сечения в системе описывается уравнениями:

. (1.39)

Для точки рассматриваемого сечения векторы и в системах отсчета и связаны соотношением:

, (1.40)

Для бесконечно малых перемещений имеем равенство:

, (1.41)

где перемещение точки в системе , перемещение точки в системе , перемещение начала отсчета (точка ) системы относительно .

Скорость точки в системе отсчета и угловая скорость ее в системе связаны соотношением:

. (1.42)

Из (1.42) видно, что скорость любой точки рассматриваемого сечения складывается из скорости поступательного движения произвольной точки этого сечения и линейной скорости , обусловленной вращением вектора вокруг точки .

Очевидно, что векторы и лежат в плоскости сечения . Следовательно, можно найти такую точку (не обязательно принадлежащую данному телу), линейная скорость которой в системе равна нулю. Это достигается тогда, когда (см. рис. 1.6).

Ось, перпендикулярная сечению и проходящая через точку , называют мгновенной осью вращения. В этом случае плоское движение тела сводится к чисто вращательному движению вокруг мгновенной оси.