КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задачи на тему “Прямая на плоскости”.IДаны точки A(-1 2), B(0 –2), C(2 4). Найти:1) уравнение прямой AB 2) уравнение прямой L1, проходящей через точку С, параллельно прямой AB; 3) уравнение прямой L2, проходящей через точку С, перпендикулярно прямой AB; 4) уравнение медианы AD треугольника ABC; 5) уравнение высоты BH; 6) длину высоты BH. 1) На прямой АВ произвольным образом возьмем текущую точку М(x,y) и соединим ее с какой-нибудь известной точкой на этой прямой, например точкой А. Составим текущий вектор {x+1 y-2}. Вектор {1 -4} расположен параллельно текущему вектору . Следовательно, из условия параллельности, соответствующие координаты этих двух векторов должны быть пропорциональны. Таким образом, получаем уравнение прямой АВ: , или 4x+y+2=0. 2) На прямой L1 образуем текущий вектор {x-2 y-4}. Так как II , {1 -4}, то в силу условия параллельности векторов, получим уравнение прямой L1: ; или 4x+y-12=0. 3) На прямой L2 образуем текущий вектор {x-2 y-4}. Так как , {1 -4}, то в силу условия перпендикулярности двух векторов, =0, получим уравнение прямой L2: 1(x-2)-4(y-4)=0, или x-4y+14=0. 4) На медиане AD образуем текущий вектор {x+1 y-2}. Найдем координаты точки D- середины стороны ВС: XD= =1, YD= =1, D=(1 1). Образуем вектор {2 -1}, расположенный параллельно текущему вектору . Тогда, в силу условия параллельности векторов, получим уравнение медианы AD: , или x+2y-3=0. 5) На высоте ВН возьмем текущую точку М(x y) и образуем текущий вектор {x-0 y+2}. Так как , где {3 2}, то условие перпендикулярности этих векторов порождает уравнение прямой ВН: 3(x-0)+(y+2)=0, или 3x+2y+4=0. 6) Заметим, что длина высоты ВН равна расстоянию от точки В до прямой АС. Чтобы воспользоваться соответствующей формулой расстояния, сначала найдем уравнение прямой АС: На стороне АС образуем текущий вектор {x+1 y-2}. Так как II , где {3 2}, то уравнение стороны АС: , или в общем виде 2x-3y+8=0. Теперь, подставляя известные данные в формулу расстояния от точки до прямой, имеем: d= . Дана прямая L1: x-2y-3=0 и точка А(-1 2). Найти: 1) для прямой L1 уравнение с угловым коэффициентом, угловой коэффициент k, отрезок, отсекаемый по оси ординат; 2) нормаль и направляющий вектор прямой L1; 3) каноническое уравнение прямой L1; 4) уравнение прямой L2, параллельной L1 и проходящей через точку А; 5) уравнение прямой L2, перпендикулярной L1 и проходящей через точку А; 1) Разрешив уравнение прямой относительно Y , получаем уравнение с угловым коэффициентом: L1: y=0,5x-1,5. Отсюда k=0,5, b=-1,5. 2) Коэффициенты при переменных X,Y, в общем уравнении прямой L1, есть координаты нормального вектора, то есть {1 -2}.
Поскольку направляющий вектор {l m} прямой L1. –это любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой, то выполняется условие: =0, где l2+m2 0. Дадим величине m какое-нибудь значение. Пусть, например, m =1, тогда l -2=0, то есть l =2. Получаем направляющий вектор {2 1}. 3) Для составления канонического уравнения прямой L1 нам необходимо знать точку М0, лежащую на L1, и направляющий вектор . Так как координаты вектора ={2 1} были получены нами ранее в задаче 2), осталось найти координаты точки М0. Зафиксируем произвольное значение, например, y=0 и подставим его в уравнение прямой L1. Получим x=3. Следовательно, М0(3 0). Воспользовавшись теперь каноническим уравнением прямой, находим: . 4) Прежде всего заметим, что точка А не лежит на прямой L1, поскольку ее координаты не удовлетворяют уравнению этой прямой. Поэтому можно построить прямую L2, проходящую через А параллельно L1, но не совпадающую с L1: Пусть М(x y)- текущая точка прямой L2. Так как текущий вектор {x+1 y-2} перпендикулярен вектору нормали {1 -2} прямой L1, то =0. Отсюда получаем уравнение прямой L2: 1(x+1)-2(y-2)=0 или x - 2y + 5 =0 5) Пусть {x+1 y-2}- текущий вектор прямой L3. Из условия параллельности и нормали {1 -2} прямой L1, получаем уравнение L3: . III Проверить, являются ли прямые L1: 2x+y-4=0, L2: a) параллельными; b) перпендикулярными; c) найти угол между L1 и L2. a) Прямые L1 и L2 будут параллельны, если их нормали II 2. Из общего уравнения прямой L1 найдем координаты нормали {2 1}. Чтобы найти нормаль 2 приведем уравнение прямой L2 к общему виду: 3x+y+5=0. Отсюда 2={3 1}. Поскольку условие параллельности векторов и 2 не выполняется, так как , стало быть, L1 и L2 непараллельны. b) Прямые L1 и L2 будут перпендикулярны, если 2. Но условие перпендикулярности для векторов и 2 не выполняется, так как =7 0. Следовательно, L1 не перпендикулярна L2. d) Угол между прямыми равен углу между их нормалями. Поэтому, используя формулу угла между двумя векторами, получим cos =соs( , 2)= . Так как =7, , , то cos = . Замечания: 1. Если две прямые L1 и L2 заданы в каноническом виде, то угол между ними можно рассматривать как угол между их направляющими векторами , а значит, cos =соs( , )= . 2. Если прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом, то угол между ними можно вычислить по формуле (1).
|