Лекция 7. Понятие линейного преобразования. Собственные векторы.

Пусть переменные х₁ и х₂ связаны с переменными х₁^/ и х₂^/ следующими формулами

, (1)

тогда матрица А = называется матрицей линейного преобразования вектора

в вектор , или точки М(x₁, x₂) в базисе , в точку М’(x’₁, x’₂) в базисе .

Матричная запись линейного преобразования

.

В общем случае отличаются по величине и по направлению. Важное значение имеют те векторы , которые при линейном преобразовании не меняют прямой, на которой они находились до преобразования.

Определение.Ненулевой вектор ē называется собственным вектором линейного преобразования с матрицей А, если он переводится этой матрицей в вектор, коллинеарный вектору ē, то есть,

Аē = λē, (2)

где λ- некоторое число, которое называется собственным значением матрицы А.

Пусть вектор ē {m;n}, тогда из матричного уравнения (2) следует

Вопрос о существовании собственных векторов сводится к вопросу о существовании ненулевого решения линейной относительно m и n, однородной системы (3).

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю:

=0 (4)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением.

В матричном виде уравнение (4):

| A – λ E | = 0. (5)

Уравнение (4) может не иметь действительных корней, и тогда собственных векторов с вещественными координатами нет.

Если корни характеристического уравнения вещественные равные, то можно указать собственный вектор.

Если характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня, то можно найти два собственных вектора.