Лекция 8. Линейные пространства.

Пусть L – произвольное множество. Элементы L обозначим x,y,z,…. Существуют различные множества (с элементами разной природы), в которых определены две операции (их принято называть сложением и умножением на число), обладающие определенным набором свойств. В каждом конкретном множестве эти операции определяются по-своему, но независимо от этого, обладают соответствующими свойствами операций сложения обычных геометрических векторов и умножения их на число. Такие множества имеют целый ряд общих свойств, обусловленных общими законами, которым подчиняются упомянутые операции, независимо от конкретного правила, которым они вводятся в конкретном множестве. Их принято называть линейными пространствами. Элементы линейного пространства называют векторами или точками пространства (независимо от природы этих элементов), поэтому линейные пространства называют также векторными пространствами, на которых определены операции сложения элементов и умножения элементов на число со свойствами:

1) для х₁, х₂ Є L справедливо свойство х₁ + х₂ = х₂ + х₁ (коммутативность),

2) для х₁, х_2, х₃ Є L имеем (х₁+ х₂)+х₃ = х₁+(х₂+х₃) (ассоциативность),

3) $ qÎL так что q +x = x +q=x, для "xÎL (q- называют нулем пространства и обозначают как 0),

4) для " xÎL $ (-x) такой, что x+(-x)=0,

5) для " a,bÎR $ xÎL такой, что a(bx)=(ab)x,

6) для " a,bÎR $ xÎL такой, что (a+b)x=ax+bx,

7) для " a,bÎR и " x₁, x₂ÎL выполняется равенство a(x₁+x₂)=ax₁+ax,

8) для " xÎL выполняется :1×x=x.

Определение 1. Линейной комбинацией (линейной алгебраической суммой) элементов х₁,х₂,…х_n Î L называется сумма α₁х₁+… α_nх_n, где α₁,… α_n какие либо числа, которые называются коэффициентами разложения.

Определение 2. Элементы e₁… e_n Î L называются линейно зависимыми, если существует равная нулю линейная комбинация α₁e_1+…+α_ne_n = 0, в которой не все коэффициенты α_n равны нулю.

Введем понятия, связанные с базисом векторного пространства (ВП)

1) Последовательность элементов e₁,… e_n Î Z является базисом в Z тогда и только тогда, когда e₁,… e_n линейно независимы и для "xÎL $a₁,…, a_nÎR такие, что x= a₁e₁+…+a_ne_n (e₁,… ,e_n порождает все элементы из L).

2) Базисы в векторном (линейном) пространстве имеют одинаковое число элементов.

3) Если в векторном пространстве L существует базис, то число n элементов этого базиса называется размерностью ВП, а ВП называется n-мерным ВП. Обозначается размерность dim Z=n (dimention).

Определение 3. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всевозможных упорядоченных пар элементов А´В: {(x, y)| x ЄΑ, y ЄΒ}.

Определение 4. Декартовым произведением векторных пространств L₁,…. L₂ называется декартово произведение Z₁ ´ Z₂, на котором определены операции сложения элементов и умножения на число по правилу:

{x₁,y₁} + {x₂,y₂}: = {x₁+х₂, y₁₊ y₂}

λ {x,y}: = {λx , λy}.

Замечание 1. L₁ ´ L₂ удовлетворяет 8 аксиомам.

Замечание 2. Аналогично определяются декартовы произведения L₁ ´…´ L_n и Lⁿ := L´…´L.

Пример: Rⁿ:= {x_1,…х_n): x₁, х_2, …,х₁ Є R}.