Обзор кинематических параметров описания углового и пространственного движения манипулятора

В большинстве случаев звенья совершают в пространстве сложное движение. Движение каждого звена можно рассмотреть в отдельности как сложное движение твердого тела (ТТ). Из механики известно, что в случае произвольного пространственного движения ТТ, его рассматривают состоящим из двух составляющих: поступательного движения некоторой точки, принятой за полюс и вращательного движения тела вокруг оси.

Пусть неподвижная система координат, а система координат, жестко связанная с телом (рис.1). В этом случае для описания сложного движения достаточно использовать шесть кинематических параметров, например, для описания поступательной части движения можно задать три декартовых координаты и их изменения во времени, а для описания вращательной составляющей – можно задать некоторые три угловые координаты.

Поступательная часть движения описывается гораздо проще, чем вращательная. Для описания вращательной части движения еще в прошлом веке были введено множество методов. Наиболее используемыми среди них до последнего времени остаются либо углы Эйлера, либо направляющие косинусы. Однако в последнее время в связи с развитием космонавтики, авиации, робототехники для описания движения твердого тела стали применять и другие параметры, которые в некоторых случаях обладают существенными преимуществами.

3.1. Параметры Эйлера, Крылова, направляющие косинусы.
Матрицы преобразования 4´4

Параметры Эйлера представляют собой три кинематических угловых параметра поворота с помощью которых тело может быть переведено из любого начального в любое конечное положение, по схеме приведенной на
рис. 2.

Здесь последовательность вращений на углы Эйлера, совершаемых вокруг соответствующих координатных осей переводит систему координат I (неподвижную систему координат) в систему координат E (систему координат, связанную с телом). Первый поворот осуществляется вокруг оси на угол вращения (ротации) y, второй поворот - вокруг оси на угол нутации q и третий поворот - вокруг на угол прецессии j.

Рис. 2. Последовательность поворотов на углы Эйлера

Рис. 3. Последовательность поворотов на углы Крылова

Последовательность осуществляемых поворотов можно описать посредством соответствующих матричных выражений. В результате получим матрицу преобразования В, задающую переход от базиса I в базис E, которая получается в виде произведения трех матриц последовательных поворотов (2):

.

(2)

Результирующая матрица, полученная путем последовательного перемножения матриц элементарных поворотов, имеет следующий вид

(3)

Таким образом, для перехода из начального положения в конечное можно использовать матричное соотношение (4)

(4)

Существуют также и другие схемы поворотов, в частности углы Крылова. Последовательность трех поворотов на углы Крылова, совершаемых вокруг координатных осей преобразуемого базиса представлена на рис. 3. Здесь осуществляются повороты на угол курса (рысканья) y, угол тангажа , угол крена g, соответственно вокруг оси , вокруг оси и вокруг оси . Матрица преобразования B, которая получается путем перемножения трех матриц плоских вращений (5), имеет вид (6)

	(5)
	(6)

Достоинство последних параметров заключается в симметричности, при этом малому отклонению объекта от исходного положения всегда соответствуют малые значения углов .

Для задания углового положения и ориентации ТТ в качестве кинематических параметров часто используют направляющие косинусы, представляющие собой скалярное произведение единичных ортов соответствующих осей.

Направляющих косинусов всего 9, хотя для описания вращательного движения достаточно трех параметров. Главный недостаток направляющих косинусов состоит в вычислительной избыточности. К достоинствам можно отнести возможность использования хорошо разработанного аппарата матричной алгебры, а также симметричность структур в уравнениях кинематики и отсутствие особых точек.

В компактной форме направляющие косинусы записываются в виде матрицы, размерностью 3´3, с помощью которой легко установить связь между двумя координатными системами, повернутыми друг относительно друга (7).

(7)

Для описания пространственного движения используют матрицу преобразования однородных координат 4´4 вида (8), определяющую расположение связанной системы координат относительно неподвижной системы.

,

(8)

где верхняя левая подматрица размерностью 3´3 представляет собой матрицу поворота, а верхняя правая подматрица размерностью 3´1 – вектор смещения.

Таким образом, координаты точки, заданные в неподвижной системе координат относительно связанной можно определить, используя выражение (9)

(9)

Матрицы однородных преобразований применяются в методе взаимосвязанного представления координат Денавита – Хартенберга, суть которого состоит в следующем. Манипулятор представляет собой, как правило, цепь последовательно соединенных звеньев, каждое их которых совершает либо вращательное, либо поступательное движение, т.е. относительное движение соседних звеньев определяется одним изменяющимся параметром. С каждым, из подвижных звеньев связывают систему координат, причем базовую (неподвижную) связывают обычно с основанием манипулятора. Далее составляются так называемые матрицы перехода от одной системы координат к соседней ближайшей. Перемножая последовательно полученные матрицы можно получить матрицу, связывающую системы координат двух соседних звеньев, и в последствии систему координат основание с системой координат любого другого звена.

Системы координат выбираются таким образом, чтобы число элементарных перемещений при в совмещении соседних систем равнялось четырем, причем один из параметров представляет обобщенную координату, а остальные конструктивные константы. Элементарные перемещения производятся в следующей последовательности:

1. поворот вокруг оси на некоторый угол до тех пор, пока оси и не станут параллельными;

2. перенос на величину вдоль оси до тех пор, пока оси и не окажутся на одной прямой;

3. перенос вдоль оси до совмещения начала координат;

4. вращение вокруг оси до полного совмещения осей.

Каждая из матриц элементарных перемещений представляет собой матрицу однородных преобразований 4´4, состоящую из блока направляющих косинусов (вращательная часть) и вектора, отвечающего за поступательное движение. В результате матрица перехода для двух соседних звеньев имеет вид (10,11).

(10)

где - блок матрицы направляющих косинусов, между соответствующими осями базовой O и конечной N системами координат, - вектор, заданный однородными координатами.

, .

(11)

Данный метод отличается высокой универсальностью, легко реализуется для любых кинематических схем, однако содержит избыточное число вычислений.

3.2. Параметры Родрига – Гамильтона, Кейли – Клейна,
кватернионы и их дуальные аналоги

В соответствии с теоремой Эйлера – Даламбера твердое тело с одной закрепленной точкой может быть переведено из любого начального положения в любое конечное с помощью одного поворота вокруг некоторой оси, которая называется осью Эйлера (рис. 4). Поворот можно описать выражением (12),

.

(12)

где - единичный вектор эйлеровой оси, . - угол поворота

Таким образом, для описания вращательного движения ТТ используется четыре параметра , где - проекция на соответствующую ось координат. Четвертым уравнением – является уравнение связи, имеющее следующий вид:

(13)

В теории конечного поворота вектор (12) называется вектором истинного Эйлерова поворота. Попытка использования указанного параметра для описания вращательного движения ТТ показала, что он приводит к появлению достаточно неудобных и громоздких выражений, поэтому в дальнейшем вместо вектора (12) было предложено использовать другой, пропорциональный ему вектор который назван вектором конечного поворота:

(14)

Вектор конечного поворота (14) позволяет получить значительно более простые и компактные уравнения кинематики.

Для решения конкретных задач кинематики обычно требуются проекции вектора (14) на координатные оси. Обозначив проекции векторы на координатные оси через , и углы между вектором и соответствующими осями через , можно записать

.

(15)

Вектор и его проекции не нашли широкого применения в механике, так как в последствии были предложены другие, более удобные параметры, которые получаются непосредственно из выражений (14) и (15).

В теории конечного поворота для описания вращательного движения вместо величин более удобными оказались пропорциональные им величины, названные параметрами Эйлера (Родрига - Гамильтона) (16):

.

(16)

Их отличием от предыдущих параметров является то, что они позволяют придать уравнения кинематики более симметричный вид. В выражение (16) введен коэффициент пропорциональности . Воспользовавшись уравнением нормирования (17) можно показать, что определяется выражением (18)

	(17)
	(18)

Если в уравнение (16) подставить (17) с учетом (16), то окончательно можно получить:

(19)

Таким образом, для описания вращательного движения ТТ можно использовать четыре параметра Эйлера, которые обладают следующими достоинствами: 1) в отличие от углов Эйлера (Крылова) они во многих случаях позволяют избавиться от операций с тригонометрическими функциями, что повышает эффективность использования ЭВМ при решении задач; 2) кинематические уравнения в параметрах Эйлера (Родрига – Гамильтона) являются линейными уравнениями, которые не вырождаются при любом угловом положении ТТ, в сравнение: аналогичные уравнения в углах Эйлера нелинейны и имеют особые точки.

Рассмотрим параметры Кейли-Клейна и кватернионы, составляющими которых являются параметры Родрига – Гамильтона.

Параметры Кейли – Клейна в настоящее время особенно широко используются для описания вращательного движения в квантовой механике. В обычной механике сравнительно редко. Эти параметры представляют собой комплексные комбинации параметров Родрига –Гамильтона и имеют следующий вид:

(20)

Видно, что параметры Кейли –Клейна попарно представляют собой комплексно – сопряженные числа, поэтому они связаны следующим соотношением:

.

(21)

С геометрической точки зрения, при помощи параметров Кейли –Клейна повороту ТТ ставиться в соответствие некоторое дробно – линейное преобразование в плоскости комплексного переменного

.

(22)

Смысл выражения (22) состоит в том, что в случае задания поворота параметрами Кейли – Клейна координата z после поворота переходит в координату z¢.

Использование в механике параметров Эйлера в дальнейшем привело к тому, что на их основе были образованы новые параметры, получившие название кватернионов.

Кватернион представляет собой гиперкомплексное число следующего вида:

.

(23)

где - определяются выражением (19).

Свойства и алгебра кватернионов достаточно широко представлены в литературе [4].

Нужно отметить, что кватерниону поворота (23) можно поставить в соответствие кватернионные матрицы размерностью 4´4, при этом для описания вращательного движения используется хорошо разработанный аппарат матричной алгебры, а матрицы компонуются из четырех параметров Эйлера, что делает описание более компактным в сравнении, например, с методом направляющих косинусов, где используется 9 различных параметров.

Для описания вращательного движения можно использовать кватернионные матрицы двух типов , либо (24), а в случае если в алгоритме часто используется коммутативное произведение матриц, то иногда удобно использовать одновременно обе матрицы.

.

(24)

Описание произвольного пространственного движения с помощью нетрадиционных параметров возможно при использовании теории дуальных чисел.

Дуальным числом называют число, которое может быть представлено в следующем виде:

,

(25)

где а – главная часть, - комплексная (моментная) части дуального числа, причем - вещественные числа, а - комплексность Клиффорда, такая, что .

Дуальным углом между двумя осями, произвольно расположенными в пространстве, называют фигуру, которая образована данными осями и отрезками прямой, пересекающим эти оси под прямым углом (рис. 5).

Обозначим через аb кратчайшее расстояние между осями, и . Тогда дуальный угол F будет иметь вид:

,

(26)

здесь - угол между осями и , а - кратчайшее расстояние между осями. Положительное направление определяется направлением .

Таким образом, дуальный угол позволяет описывать одним числом совокупность поступательного и вращательного движения, поскольку переход от к z₂ в пространстве может быть осуществлен за счет совокупности двух движений. Все кинематические параметры, применяемые для углового движения можно использовать для описания пространственного движения, если их элементы заменить дуальными величинами.

Таким образом, в случае произвольного пространственного движения для вектора конечного перемещения получим винт конечного перемещения. Параметры Эйлера (Родрига – Гамильтона) заменят их дуальные аналоги, аналогично получим дуальные параметры Кейли – Клейна и дуальные кватернионы, называемые бикватернионами.

Рис. 5

Рис. 6

По теореме Шалля ТТ может быть переведено из любого начального положения в любое конечное с помощью одного винтового перемещения (рис. 6). Таким образом, вместо вектора конечного перемещения (14) можно записать винт конечного перемещения (27)

, где

(27)

И для проекций винта получим

,

(28)

угол - угол между прямой l и i-ой координатной осью

Дуальные параметры Эйлера (Родрига – Гамильтона) по аналогии с обычными параметрами можно выразить следующими соотношениями:

(29)

Дуальные параметры Кейли- Клейна будут иметь вид (30)

(30)

Бикватернионы, предложенные Клиффордом, позволяют описывать пространственное движение в более удобной и компактной форме. Бикватернион вводится по аналогии с обычным кватернионом, при этом вещественные параметры заменяются их дуальными аналогами.

, .

(31)

где - обычные вещественные параметры Эйлера, - параметры винтового движения. Бикватернионная матрица имеет следующий вид:

.

(32)