Теорема Лагранжа.

Вычислим ускорение точки согласно определению = . Учтем, что = = .

Дифференцируя правую часть по , приходим к векторному представлению ускорения в зависимости от вектор-функции , обобщенных скоростей и обобщенных ускорений , :

= = + .

В проекциях на абсолютные оси , , оно примет вид:

= = + , = = + ,

= = + .

Запишем теперь разложение ускорения по базису , , основной системы с началом в точке и по базису , , ДПСК:

= = + + . (37)

Умножая обе части равенства последовательно на , , скалярно, находим:

= ( , ( , ( , ,

= ( , ( , ( , ,

= ( , ( , ( , .

В матричном представлении данные соотношения примут вид:

= , или = .

Они дают связь контравариантных координат , , ускорения с его декартовыми координатами , , . Из равенства подстановкой в него разложения (37) получаем формулу для :

= ,

где — модуль ускорения .

Построим теперь формулу Лагранжа для вычисления ковариантных координат , , ускорения . Согласно определению ковариантных координат можем записать = , . Подставим в правую часть этого равенства значение орта , вычисленное в точке ,

=

и вынесем за знак скалярного произведения. В результате придем к следующему выражению для :

= ( , .

В нем, в соответствии с определением понятия ускорения точки, производная вычисляется вдоль движения = , = , = . Поэтому в множителе производная по времени строится от суперпозиции функций и , , .

А потому, согласно свойству б) функции из леммы Лагранжа, множитель можно заменить производной . Кроме того, по свойству а) из той же леммы, множитель можно заменить производной . А тогда выражение для примет вид

= . (38)

Введем функцию , где задается формулой (31). Будем иметь

, .

Подставляя в (38), окончательно найдем

= , . (39)

Эта формуланазывается формулойЛагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки. Таким образом, доказали следующую теорему.

Теорема Лагранжа.

Ковариантные координаты вектора ускорения материальной точки выражаются по формуле(39).

Если криволинейные координаты ортогональны, то = , . В таком случае формула (38) позволяет вычислить контравариантные координаты вектора .