Свойства выборочного коэффициента корреляции

1. или .

2. Если , тогда и не связаны линейной корреляционной зависимостью (но могут быть связаны нелинейной корреляционной или даже функциональной зависимостью).

3. С возрастанием абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции линейная корреляционная зависимость становится более тесной и при переходит в линейную функциональную зависимость.

4. Если , тогда и связаны прямой (обратной) линейной функциональной зависимостью.

Свойства математического ожидания Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: .   Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания .   Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: .   Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.   Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых .   Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. ТеоремаМатематическое ожидание М (X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:   .

Свойства дисперсии Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: . Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .   Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. . Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины: .   Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . ТеоремаДисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: .

Числовые характеристики основных распределений дискретных случайных величин Приведем без вывода основные числовые характеристики дискретных случайных величин: 1) биномиальное распределение , k=0, 1, 2, …, n, , , ; 2) распределение Пуассона , k=0, 1, 2, …, , , ; 3) геометрическое распределение , k=0, 1, 2, …, , , ; 4) гипергеометрическое распределение , m=0, 1, 2, ..., М, , .

Модойдискретнойслучайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Медианойслучайной величины X называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е. . ПРИМЕРНайти математическое ожидание и дисперсию случайной величиныX, которая задана следующим законом распределения: 0,2 0,4 0,3 0,1 Решение. Найдем математическое ожидание : . Напишем закон распределения случайной величины X2:   0,2 0,4 0,3 0,1 Найдем математическое ожидание : . Искомая дисперсия .

Задача   Задача: Точечная оценка параметра распределения . Тогда его интервальная оценка может иметь вид: Ответы: 1). 2). 3). 4). 5). нет правильного ответа   Решение: Т.к. точечная оценка параметра распределения должна входить в заданный интервал, то ответ №1.

Задача   Задача: Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид: Найти частоту варианты   Ответы: 1). 20 2). 22 3). 24 4). 21 5). нет правильного ответа Решение:n2=90-4-6-15-16-28=21 Ответ №4

Вычисление пределов

ПРИМЕР 2.41.Найти . Решение. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Следовательно, имеем неопределенность вида . Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель . Имеем .	ПРИМЕР 2.45. Найти . Решение. Для раскрытия неопределенности избавимся от иррациональности в числителе путем умножения числителя и знаменателя на . Получим .
ПРИМЕР 2.48.Найти . Решение. Имеем неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на , получим .	ПРИМЕР 2.49. Найти предел Решение. .   ПРИМЕР 2.50. Найти предел Решение. .
ПРИМЕР 2.51. Найти предел дробно-рациональной функции . Решение. Имеем .

Таблица основных интегралов

1 , , (1.10) 2 (1.11) 3 (1.12) 4 , , (1.13) 5 (1.14) 6 (1.15) 7 (1.1

8 (1.17) 9 (1.18) 10 (1.19) 11 , (1.20) 12 , (1.21)13 ,

14 , 15 (1.24) 16 (1.25) 17 (1.26) 18 (1.27) 19 (1.28) 20

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ   Комплексным числом называется выражение вида , (2.1) где и действительные числа, а мнимая единица, определяемая равенством или . Числа и называются действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются , . Форму (2.1) комплексного числа называют алгебраической. Два комплексных числа и считаются равными, если равны их действительные и мнимые части: . Число при условии . Понятия “больше” и “меньше” для комплексных чисел не устанавливаются. Число называется сопряженным числу . Алгебраические действия над комплексными числами определяются следующими равенствами: Комплексное число изображается точкой на координатной плоскости (рис. 2.1). При этом действительные числа изображаются точками на оси , называемой здесь действительной осью, а мнимые числа изображаются точками оси , называемой мнимой осью. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. (2.5)   Комплексному числу не приписывается какое-либо значение аргумента. Зная модуль комплексного числа и главное значение его аргумента , мы можем вычислить его действительную часть и мнимую : и записать число в форме (2.6) Эту форму комплексного числа называют тригонометрической. Имеют место следующие правила умножения, деления, возведения в целую положительную степень и извлечение корня для чисел в тригонометрической форме: , (2.7) , (2.8) , (2.9) , (2.10) где . Формула (2.9) называется формулой Муавра. Примеры решения задач ПРИМЕР 2.2.Найти и , если . Решение. , откуда . ПРИМЕР 2.3. Выяснить геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел и . Решение. . Следовательно, означает расстояние между точками и (рис. 2.2) Если изобразить комплексное число с помощью вектора, то действительная и мнимая части являются координатами вектора, а так как при вычитании векторов их координаты соответственно вычитаются, то вычитание комплексных чисел сводится к вычитанию векторов, изображающих эти числа. Как видно из рис. 2.2., есть длина вектора , иначе расстояние между точками, изображающими числа и .   .

Комплексное число может быть изображено вектором с координатами и и с началом в точке (рис. 2.1). Длина вектора , изображающего комплексное число , называется модулем комплексного числа. Угол , образуемый этим вектором с положительным направлением действительной оси, называется аргументом комплексного числа. Модуль числа принято обозначать , а аргумент . Для модуля и аргумента, как видно на рис. 2.1, справедливы формулы , (2.2) (при ) (2.3) Величина имеет бесчисленное множество значений, отличающихся одно от другого на целое, кратное . Если величину одного из углов обозначить через , то совокупность величин всех углов запишется в следующем виде: Значение , принадлежащее промежутку , называется главным и обозначается . Итак, , (2.4) Зная действительную часть и мнимую часть комплексного числа и пользуясь тем, что , можем вычислить по формуле Геометрически значений выражения (2.10) изобразятся вершинами некоторого правильного угольника, вписанного в окружность, с центром в начале координат и с радиусом . В теории функций комплексного переменного известны формулы Эйлера . (2.11) С помощью первой формулы Эйлера, умножив левую и правую части на , можно перейти от тригонометрической формы (2.6) к показательной форме комплексного числа . (2.12) В виду ее компактности она удобнее равносильной тригонометрической формы. Алгебраические действия (2.7) - (2.10) с помощью показательной формы (2.12) имеют более простой вид , (2.13) , (2.14) , (2.15) (2.16) При решении задач полезно помнить, что и т.д.,. и вообще при любом целом .     ПРИМЕР 2.4.Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа ; представить его в тригонометрической и показательной формах. Решение. По определению модуля, . Так как значение аргумента удовлетворяют соотношению то . Итак, и согласно (2.6) и (2.12) имеем .   ПРИМЕР 2.5. Выполнить действия умножения и деления комплексных чисел и , представив их вначале в тригонометрической форме. Решение. . Применяя формулы (2.7) и (2.8), получим   ПРИМЕР 2.6. Вычислить . Решение. Запишем число в тригонометрической форме. По формуле (2.9) имеем .

ЗАДАНИЕ N 18 ( - выберите варианты согласно тексту задания) Укажите соответствие между областями и их геометрическими интерпретациями 1) 2) 3) 4) Решение: Т.к. , то ось Ох – действительная, ось Oy – мнимая. 1) (Полоса вдоль оси Х, ) Ответ: С 2) (Прямая y=-2) Ответ: D 3) (Прямая x=-2) Ответ: E 4) (Прямая y=3) Ответ: A

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: A)   B) C)   D) E)