Нелинейное уравнение с одной переменной

Пусть требуется найти решение нелинейного уравнения с одной переменной. Функция раскладывается в степенной ряд в окрестности точки :

где ; означает, что значения производных функции взяты в точке . Если ограничиться двумя членами ряда, то можно найти такое значение , которое обращает в ноль линейную аппроксимацию исходной функции :

=0 .

Это выражение позволяет записать рекуррентное соотношение

.

(6.1)

На рис. 6.1 представлена графическая интерпретация метода Ньютона. Следующее приближение переменной определяется точкой пересечения касательной к функции f(x) с осью абсцисс.

Пример. Методом Ньютона получить решение нелинейного уравнения . Точные решения этого уравнения . Однако их требуется найти. Для расчетов методом Ньютона необходимо знать .

Решение (3 шага) для двух начальных приближений аргумента (для получения двух корней уравнения) записано в табл. 6.1, 6.2.

Таблица 6.1

k
				=10-66/17=6,12
	6,12	15,07	9,24	4,48
	4,48	2,66	5,97	4,04
	4,04	0,2016	5,08	4,00

Таблица 6.2

k
	-10		-23	-4,52
	-4,52	30,01	-12,04	-2,03
	-2,03	6,21	-7,06	-1,15
	-1,15	0,77	-5,3	-1