Расчет переходных процессов

Пример 7. Рассчитать изменение тока i₁ и напряжения u₂ в схеме четырехполюсника (рис. 16, а) для режима холостого хода (Z_н = ¥) на интервале t₀ £ t £ t₀ + T при подключении его к клеммам с напряжением u₁₂ в момент t₀, когда напряжение u₁₁(t₀) = 0, du₁₁(t₀)/dt > 0, т.е. в момент перехода отрицательной полуволны напряжения в положительную (рис. 16, б). Значения параметров элементов схемы и входного напряжения: R₁ = 45 Ом, R₂ = 8 Ом,R₃ = 10 Ом, L = 50 мГн, С = 250 мкФ, u₁₁(t) = 14,1sin(10³t + /4) B, u₁₂(t) = [20, t₀₊ £ t £ t₀ + T/2_– ; –20, t₀ + T/2₊ £ t £ t₀+ T_–], T = 6,28 × 10^–3 с.

Рис. 16

Решение. Подготовим схему — выберем условно положительные направления токов и напряжений. Определим независимые начальные условия u_C (t₀₊) и i_L(t₀₊) из значений u_C (t) и i_L(t), рассчитанных до коммутации: u_C (t₀₊) = u_C (t_0–), i_L(t₀₊) = i_L(t_0–). Значение u_C (t) и i_L(t) = i₁(t) рассчитаем с использованием метода комплексных амплитуд: I_1m = U_1m / Z_вх, U_1m = 14,1e ^jp/4, Z_вх = R₁ +
+ jwL₁ + R₃ + R₂(–j / wC) / (R₂ – j / wC) = 45 + j50 + 10 + 8(–j4) / (8 – j4) =
= 56,6 + j46,8. Тогда I_1m = (10 + j10)/(56,6 + j46,8) = (0,1917 +
+ j0,0182) = 0,193exp( j5,42°) i₁(t) = 0,193sin(10³t + 5,42°). Напряжение U_Cm = Z_bc I_1m = [R₂(–j / wC) / (R₂ – j / wC)] I_1m = (1,6 –
– j3,2) ´ (0,1917 + j0,0182) = 0,365 – j0,584 = 0,689exp(–j58°)
u_C (t) = 0,689sin(10³t – 58°).

Определим время коммутации t₀ из заданного условия u₁₁(t₀) = 0, du₁₁(t₀) / dt > 0: u₁₁(t₀) = 14,1sin(wt₀ + p/4) = 0, отсюда t₀ = –p/(4w), wt₀ =
= –p/4 = – 45°. Соответственно, i_L(t_0–) = i_L(t₀₊) = 0,193sin(– 45° +
+ 5,42°) = – 0,123; u_C (t₀₊) = u_C (t_0–) = 0,689sin(– 45° – 58°) = – 0,671.

В последующем расчете начало отсчета t₀ примем за ноль, тогда i_L(t₀₊) = i_L(0₊) = – 0,123 А, u_C (t₀₊) = u_C (0₊) = – 0,671 В.

Характер переходного процесса зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составим методом входного сопротивления: Z( p) = R₁ + pL + R₃ + (R₂ / pC ) /
/ (R₂ + 1 / pC) = 0. После преобразования получим Z( p) = p² +
+ p[(R₁R₂C + L) / (R₂LC )] + (R₁ + R₂) / ( R₂LC ) = 0. Введем обозначения и рассчитаем d = (R₁R₂C + L) / (2R₂LC ) = 800, = (R₁ + R₂) /
/ (R₂LC) = 630 000: p² + 2dp + = p² + 2800p + 630 000 = 0, корни p_1,2 = – d ± = – 800 ± = – 800 ±100, p₁ =
= – 700 с^–1, p₂ = – 900 с^–1.

На основании полученных корней запишем выражения для токов, напряжений и их производных (так как система второго порядка) в общем виде:

y(t) = y_св + y_вын=A₁exp( p₁t) + A₂exp( p₂t) + y_вын;

dy(t)/dt = p₁A₁exp( p₁t) + p₂A₂exp( p₂t) + dy_вын/dt. (1)

Для определения зависимых начальных условий и установившихся значений токов и напряжений составим систему уравнений согласно законам Кирхгофа, которая будет справедлива на интервале 0₊ £ t £ ¥:

u₁₂(t) = R₁i₁ + u_L + R₃i₁ + u_C, u_C – R₂i₂ = 0, i₁ = i₂ + i₃. (2)

Первый интервал 0₊ £ t £ T/2_– : u₁₂(t) = 20 В.

Найдем зависимые начальные условия для момента коммутации ключа t₀₊, для которого i_L(0₊) = i₁(0₊) = – 0,123 А, u_C (0₊) =
= – 0,671 В: i₂(0₊) = – 0,0839 А, i₃(0₊) = – 0,207 А, u_L (0₊) = 27,436 В.

Определим вынужденные значения (t = ¥) токов и напряжений из уравнений (2), зная, что при постоянном (не изменяющемся во времени) воздействии u_L(¥) = 0, i₃(¥) = i_С (¥) = 0. Получим: i₁(¥) = u₁₂ / (R₁ + R₂ + R₃) = 0,317 А, u_C (¥) = i₁(¥)R₂ = 2,54 В.

Составим уравнения для определения постоянных интегрирования выражений i₁(t) и u_L(t) согласно (1): i₁(0₊) = A₁ + A₂ + i₁(¥), u_L(0₊) = L(di₁/dt)(0₊) = L(p₁A₁ +p₂A₂) + u_L(¥); –0,123 = A₁ + A₂ +
+ 0,317; 27,436 = 0,05[(–700) A₁ + (– 900) A₂] + 0. Решая уравнения, найдем A₁ = 0,761, A₂ = – 1,202. Окончательно решение для i₁(t) и u_L(t): i₁(t) = (0,761e^–700t – 1,202e^–900t + 0,317) А, u_L(t) = (–26,635e^–700t +
+ 54,1202e^–900t) В.

Аналогично, используя начальные и вынужденные значения, найдем решение для u_С (t) и i₃(t) = i_С (t) = Сdu_С / dt на первом интервале входного воздействия: u_С (t) = (– 15,24e^–700t + 12,02e^–900t + 2,54) В; i₃(t) = (2,665e^–700t – 2,704e^–900t) А; u₂(t) = u_С(t) + i₁(t)R₃ = (– 7,63e^–700t +
+ 5,715) В.

Второй интервал T/2₊ £ t £ T_– : u₁₂(t) = – 20 В.

Скачкообразное изменение входного напряжения в момент
t = T/2 создало новые условия для протекания переходного процесса. Методика расчета аналогична методике для первого интервала. Прежними остаются только корни, так как структура и параметры элементов схемы не изменились, а напряжение источника входного воздействия на корни не влияет.

Независимые начальные условия u_C (T/2₊) и i_L(T/2₊) = i₁(T/2₊) определим из u_C (t) и i_L(t) первого интервала: u_C (T/2₊) = u_C (T/2_–) =
= (–15,24e^–700T/2 + 12,02e^–900T/2 + 2,54) = 1,56, i₁(T/2₊) = i₁(T/2_–) =
= (0,761e^–700T/2 – 1,202e^–900T/2 + 0,317) = 0,331, T/2 = 3,14 × 10^–3 с.

Зависимые начальные условия и вынужденные значения токов и напряжений вычислим, воспользовавшись уравнениями (2): i₂(T/2₊) = 0,195 А, i₃(T/2₊) = 0,136 А, u_L(T/2₊) = – 39,765 В; u_L(¥) = 0 В, i₃(¥) = 0 А, i₁(¥) = i₂(¥) = u₁₂ / (R₁ + R₂ + R₃) = – 0,317 А, u_C(¥) =
= R₂i₂(¥) = – 2,54 В.

Решение для i₁(t) и u₂(t) найдем, используя u_C (t) и i_C (t) и уравнения (2). С учетом смещения процессов по оси времени относительно начала отсчета получим: u_C (t) = u_Cсв + u_Cвын = A₁ ´
´ exp[p₁(t – T/2)] + A₂ exp[p₂(t – T/2)] + u_Cвын; i_C(t) = Cdu_C (t) / dt =
= Cp₁A₁exp[(p₁(t – T/2)] + Cp₂A₂exp[(p₂t – T/2)]+ i_Cвын.

При t = (T/2₊): u_C (T/2₊) = A₁ + A₂ + u_Cвын(T/2₊); i_C (T/2₊) = Cp₁A₁ +
+ Cp₂A₂ + i_Cвын(T/2₊). Подставляя в эту систему начальные и вынужденные значения токов и напряжений, найдем постоянные интегрирования: – 1,56 = A₁ + A₂ – 2,54; 0,136 = 0,05(– 700)A₁ +
+ 0,05 ´ (– 900) A₂; A₁ = 21,17; A₂ = –17,07. Следовательно, u_C (t) =
= {21,17exp[–700(t – T/2)] – 17,07exp[–900(t – T/2)] – 2,54} B;
i_C(t) = i₃(t) = {–3,705exp[(–700(t – T/2)] + 3,841exp[(–900(t – T/2)]} A; i₂(t) = u_С (t)/R₂ = {2,646exp[–700(t – T/2)] – 2,134exp[–900(t – T/2)] –
– 2,54} A; i₁(t) = i₂(t) + i₃(t) = {– 1,06 exp[–700(t – T/2)] + 1,71 ´
´ exp[– 900(t – T/2)] – 0,317} A; u₂(t) = u _С(t) + i₁(t)R₃ = {10,58 ´
´ exp[– 700(t – T/2)] – 5,715} B.

Чтобы убедиться в правильности полученных результатов, выполним проверку:

1. Определим из найденных решений значения i₁(T/2_–) и i₁(T/2₊). Согласно закону коммутации, i₁(t) = i_L(t) не может измениться скачком, т.е. i₁(T/2_–) = i₁(T/2₊): i₁(T/2_–) = 0,331 А, i₁(T/2₊) =
= 0,3305 А — равенство соблюдается с достаточной точностью.

2. Изменение входного напряжения u₁₂(t) в момент t = T/2 на (–2U₁₂) = – 40 B может уравновесить в данной схеме только напряжение на индуктивность, так как остальные напряжения скачком измениться не могут, следовательно, u_L(T/2₊) – u_L(T/2_–) = – 40. Проверим, используя найденные решения: u_L(T/2₊) = u₁₂(T/2₊) –
– u_С(T/2₊) – i₁(T/2₊)(R₁ + R₃) = – 39,765 В, u_L(T/2_–) = 0,248 В, u_L(T/2₊) –
– u_L(T/2_–) = –39,765 – 0,248 = –40,013 В — результаты совпадают с достаточной точностью. При первой коммутации изменение напряжения на индуктивном элементе U_L должно равняться 20 В (проверьте!).