КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.

Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ±j, где символ - мнимая единица.

За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.

На рис.47 изображен вектор комплексного тока , которому соответствует комплексное число

Рис. 47. Составляющие комплексного числа на комплексной плоскости

где I - модуль действующего значения тока, равный длине вектора;

где - действительная составляющая тока; - мнимая составляющая; y_i = arctg ( ) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0. Аргумент положительный, если вектор отложен в направлении против движения часовой стрелки, и отрицательный, - если по часовой.

Комплексные значения синусоидальных величин обозначают несинусоидальных - z, S.

Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).

Алгебраическая форма записи:

.

Тригонометрическая форма записи:

İ = Icosy_i + jsiny_i .

Показательная форма записи:

İ = Ie^jyi .

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи

e^±jα =cosα±j sinα.

Например:

İ = 10e ^j37º = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 · 0,8 + j10 · 0,6 = 8 + j6

İ = 8 + j6= = 10e^+j37º (А).

При работе с комплексными числами (İ) используют и сопряженные комплексные величины(I*), имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:

İ = 10e ^j37º, А; I* =10e^–j37º, А.

Произведение İ · I* = 10e ^j37º · 10e^–j37º = 100e^j0°, À.