Задание 2. Расчет сложных цепей постоянного тока

Задание: для электрических схем (варианты параметров элементов схем и номера схем для расчета каждым из методов приведены в таблицах 5.1 и 5.2) выполнить следующее:

1. Определить величины и направления токов во всех ветвях схемы по методу уравнений Кирхгофа.

1.1. Вычертить заданную схему, выписать заданные величины э.д.с. и сопротивлений;

1.2. Задать произвольные положительные направления токов в ветвях схемы (индексы токов при этом должны совпадать с индексами сопротивлений в соответствующих ветвях), определить число независимых узлов схемы, определить число независимых контуров схемы и задаться направлениями их обхода;

1.3. Составить необходимое количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа; полученную систему уравнений решить относительно неизвестных токов, определив их величину и истинное направление;

1.4. Произвести проверку правильности расчета токов путем составления уравнения баланса мощностей цепи.

2. Определить величины и направления токов во всех ветвях схемы по методу контурных токов.

2.1. Вычертить заданную схему, выписать заданные величины э.д.с. и сопротивлений;

2.2. Выбрать независимые контуры, задаться в них произвольными направлениями контурных токов;

2.3. Составить систему уравнений для контурных токов по второму закону Кирхгофа; решить данную систему относительно неизвестных контурных токов;

2.4. Определить значения токов в ветвях схемы через найденные контурные токи;

2.5. Произвести проверку правильности расчета токов путем составления уравнения баланса мощностей цепи.

3. Определить величины и направления токов во всех ветвях схемы по методу наложения.

3.1. Вычертить заданную схему, выписать заданные величины э.д.с. и сопротивлений;

3.2. Составить частичные схемы замещения исходной схемы; для каждой из частичных схем замещения задать направления токов в ветвях и определить эти токи, пользуясь законами Ома и Кирхгофа. По найденным токам частичных схем замещения найти полные токи в ветвях исходной схемы;

3.4. Проанализировать режимы работы источников э.д.с.;

3.5. Произвести проверку правильности расчета токов путем составления уравнения баланса мощностей цепи.

Таблица 5.1.

Параметры элементов схем для расчета

Таблица 5.2

Варианты расчетного задания

Варианты схем для выполнения задания

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Рис. 5.3 Рис. 5.4

Рис. 5.5 Рис. 5.6

Рис. 5.7 Рис. 5.8

Рис. 5.9 Рис. 5.10

Рис. 5.11 Рис. 5.12

Рис. 5.13 Рис. 5.14

Рис. 5.15 Рис. 5.16

Рис. 5.17 Рис. 5.18

Рис. 5.19 Рис. 5.20

Рис. 5.21 Рис. 5.22

Рис. 5.23 Рис. 5.24

Рис. 5.25

Пример расчета сложных цепей постоянного тока.

1. Пример расчета цепи методом уравнений Кирхгофа.

В цепи, изображенной на рис. 5.26, заданы величины э.д.с. источников и сопротивления резисторов: Е₁=100 В, Е₂=75 В, R₁=10 Ом, R₂=15 Ом, R₃=20 Ом. Определить токи в ветвях схемы; проверку правильности решения произвести путем составления уравнения баланса мощностей цепи.

1.1. Произвольно направим токи во всех ветвях схемы (см. рис. 5.26).

1.2. Количество ветвей в схеме равно трем, следовательно, в схеме три различных тока. Для их нахождения следует составить три уравнения:

Рис. 5.26. Схема для расчета

одно по первому закону Кирхгофа (т.к. число узлов в схеме равно двум), и два по второму закону Кирхгофа. Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо задать направления обхода соответствующих контуров (см. рис. 5.26).

1.3. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для узла «b». Токи, подтекающие к узлу, возьмем со знаком «–», вытекающие из узла – со знаком «+»:

.

В контуре I направление обхода совпадает с направлениями токов I₁, I₂ и э.д.с. Е₁ и Е₂, поэтому уравнение, составленное для данного контура по второму закону Кирхгофа, содержит слагаемые со знаком «+»:

.

В контуре II направление обхода не совпадает с направлениями токов I₂, I₃ и э.д.с. Е₂, поэтому уравнение, составленное для данного контура по второму закону Кирхгофа, содержит слагаемые со знаком «–»:

Получаемая таким образом система из трех уравнений с тремя неизвестными

может быть решена любым удобным способом. Решение системы уравнений дает следующий результат: I₁ = 7,7 A; I₂ = 6,5 A; I₃ = –1,2 А. Знак «–» для полученного значения тока I₃ означает, что истинное направление тока противоположно первоначально выбранному.

1.4. Произведем проверку правильности определения токов путем составления баланса мощностей цепи. В общем случае уравнение баланса мощностей имеет вид

,

где – сумма мощностей источников энергии, имеющихся в электрической цепи, i – номер источника, n – общее количество источников; – сумма мощностей, потребляемых приемниками (нагрузками), имеющимися в цепи, k – номер приемника, m – общее число приемников. При этом мощность источника э.д.с. определяется как произведение его э.д.с. на протекающий через источник ток; при совпадении направлений э.д.с. и тока указанное произведение входит в уравнение со знаком «+» (источник работает в режиме генератора энергии), а если направления э.д.с. и тока различны, их произведение входит в уравнение со знаком «–» (источник работает в режиме потребителя энергии). Мощность потребителя определяется как произведение его сопротивления на квадрат протекающего через него тока.

Таким образом, для рассматриваемой цепи уравнение баланса мощностей имеет вид

.

После подстановки числовых значений получаем для левой части (суммарная мощность источников) 1257,5 Вт, для правой части (суммарная мощность приемников) 1255,5 Вт. Баланс мощностей сошелся, токи рассчитаны верно (некоторая разница числовых значений правой и левой частей уравнения баланса мощностей объясняется, в первую очередь, округлением результатов предыдущих вычислений; баланс мощностей считается сошедшимся, если разница правой и левой частей уравнения баланса мощностей не превышает 5%).

2. Пример расчета цепи методом контурных токов.

Пусть требуется рассчитать цепь, изображенную на рис. 5.26, методом контурных токов. Значения э.д.с. источников и сопротивления резисторов – те же, что и в предыдущем примере.

2.1. Выберем направления контурных токов I₁₁ и I₂₂ (см. рис. 5.27).

Рис. 5.27. Схема для расчета

2.2. Рассчитаем собственные и взаимные сопротивления контуров:

R₁₁ = R₁ + R₂ = 25 Ом;

R₂₂ = R₂ + R₃ = 35 Ом;

R₁₂ = R₂₁ = –R₂ = –15 Ом.

Взаимное сопротивление R₁₂ = R₂₁ берем со знаком «–», так как контурные токи в нем не совпадают по направлению.

Рассчитаем контурные э.д.с.:

Е₁₁ = Е₁ + Е₂ = 175 В;

Е₂₂ = –Е₂ = –75 В.

Контурная э.д.с. Е₂₂ имеет знак «–», так как направление контурного тока I₂₂ не совпадает с направлением э.д.с. Е₂.

2.3. Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:

Решение данной системы дает следующий результат: I₁₁=7,7 A; I₂₂=1,2 А.

2.4. Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:

I₁ = I₁₁ = 7,7 A;

I₂ = I₁₁ – I₂₂ = 6,5 A;

I₃ = I₂₂ = 1,2 А.

2.5. Проверка правильности расчета токов может быть произведена путем составления уравнения баланса мощностей (так же, как это сделано в примере 1).

3. Пример расчета цепи методом наложения.

Пусть требуется рассчитать цепь, изображенную на рис. 5.26, методом наложения.

3.1. Как известно, принцип наложения позволяет расчленить сложную задачу на ряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой сложной цепи действует только одна э.д.с., а все остальные источники э.д.с. замыкаются накоротко (исключаются из схемы).

3.2. В рассматриваемой цепи имеются два источника э.д.с., следовательно, задача ее расчета распадается на две более простые задачи. Для их решения следует составить так называемые частичные схемы замещения, представленные на рис. 5.28. На рис. 5.28а изображена первая частичная схема, содержащая только источник э.д.с. Е₁; по ветвям этой схемы протекают токи I^׀₁, I^׀₂, I^׀₃. На рис. 5.28б представлена вторая частичная схема с источником Е₂ и токами I^׀׀₁, I^׀׀₂, I^׀׀₃.

а б

Рис. 5.28. Частичные схемы замещения

Получаемые таким способом частичные схемы могут быть рассчитаны любым удобным способом (проще всего схемы с одним источником энергии рассчитывать с помощью законов Ома и Кирхгофа); в результате расчета получают значения токов.

3.3. Реальные токи, протекающие в ветвях исходной схемы, находят путем алгебраического суммирования (суперпозиции) токов, протекающих в тех же ветвях каждой из частичных схем замещения, с учетом их направления. Для рассматриваемого случая реальные токи будут определены как

; ; .

3.4. Проверка правильности расчета токов может быть произведена путем составления уравнения баланса мощностей (так же, как это сделано в примере 1).