Метод узловых потенциалов. Алгоритм расчета цепи по методу узловых потенциалов. Метод двух узлов.

Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, требует совместного решения меньшего числа независимых уравнений по сравнению с методом узловых и контурных уравнений (применением двух законов Кирхгофа), что сокращает расчеты. Он основан на применении первого закона Кирхгофа.

Для расчета токов методом узловых потенциалов, кроме первого закона Кирхгофа, применяется обобщенный закон Ома. Рассмотрим его применение для отдельных ветвей, представленных на рис. 2.25, а и б. Сопротивления r₁

Рис. 2.25 К обобщенному закону Ома

Рис 2.26. Схема к примеру 2.9

и r₂ — это суммарные сопротивления элементов каждой из ветвей ЭДС в общем случае могут быть суммами ЭДС в каждой из ветвей. Для токов указаны выбранные положительные направления.

По тем же правилам, что и в § 1.14, запишем потенциалы точек a и с:

и определим токи через разности потенциалов:

(2.46а)

(2.46б)

Эти зависимости токов от напряжения между выводами ветви и ее параметрами и называются обобщенным законом Ома. Потенциал вывода, от которого ток оттекает, входит в (2.46) со знаком “+”, а потенциал вывода, к которому ток притекает, — со знаком “-”. Со знаком “+” записывается ЭДС, направление которой совпадает с положительным направлением тока (E₂), и со знаком «-» направленная навстречу (Ε₁).

Расчет токов методом узловых потенциалов рассмотрим на примере цепи рис. 2.24 с тремя узлами А, Б, В.

Для двух узлов можно составить независимую систему уравнений по первому закону Кирхгофа. Например, для узлов А и Б

I₁-I₄ – I₃= 0 -I₁ + I₄ + I₅-I₂ = 0. (2.47)

Токи I₁ и I₂ запишем по обобщенному закону Ома (2.46).

а остальные токи по закону Ома:

Как указывалось (§ 1.14), потенциал одной из точек цепи можно принять равным нулю. Выберем, например, равным нулю потенциал узла В и подставим выражения для токов в уравнения (2.47).

Для узла А

Для узла Б

Заменим сопротивления ветвей проводимости g=I/r и перенесем слагаемые с ЭДС в правую часть уравнений. Получим для узла А

(g₁ + g₂ + g₃) φ _А – (g₁ + g₄)φ_Б = – g₁ Е₁ (2.48а) и для узла Б

- (g₁ + g₄)φ _А + (g₁ + g₄ + g₅ + g₂) φ_Β =g₂ E₂ (2.48б)

Из полученной системы уравнений после совместного решения определяются неизвестные величины, а именно потенциалы узлов φ_А и φ_Б.

Сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу, называется собственной узловой проводим остью, например g_A = g₁+g₄+g₃, так как к узлу А присоединены 1-я, 4-я и 3-я ветви. Сумма проводимостей ветвей, соединяющих два узла, называется общей узловой проводимостью, например, g_AБ = g₁+g₄.

Метод узлового напряжения (§ 2.9) является частным случаем метода узловых потенциалов для цепи с двумя узлами.

Систему уравнений (2.48) можно составить и сразу, учитывая, что в (2.48) собственная проводимость входит со знаком «+», а перед общей проводимостью стоит знак «—». В правой части в общем случае записываются алгебраические суммы произведений gE: со знаком «+» для ЭДС, направленных к узлу, для которого составляется уравнение, и со знаком «—» для ЭДС, направленных от узла. Таким образам, в общем случае (цепь с числом узлов более трех), например, для узла А

(2.49)

Таким образом, уравнение для данного узла содержит произведение потенциала узла на сумму проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу, и произведения потенциалов других узлов на общие проводимости.

Если схема электрической цепи содержит источник тока, подключенный к узлу А, то в правой части (2.49) дополнительно записывается ток I_к со знаком «+», если он направлен к узлу, и со знаком «—» в противном случае.

Аналогично (2.49) надо составить уравнения для всех других узлов, кроме одного, потенциал которого принят равным нулю.

Из сравнения методов узловых и контурных уравнений, контурных токов и узловых потенциалов следует, что для определения токов в цепи первый метод требует совестного решения большего числа уравнений (равного числу ветвей с неизвестными токами). Методом контурных токов составляется и решается совместно только число уравнении, равное числу контурных уравнений, а методом узловых потенциалов – число уравнений, равное числу узловых уравнений.