Расчет доверительных интервалов

Доверительные интервалы дают больше информации о параметре, чем точечная оценка, так как показывают совокупность допустимых значений.

Понятие доверительного интервала тесно связано с понятием точности прибора. Класс точности прибора – это выраженная в процентах относительная предельная погрешность измерения величины, равной пределу измерения прибора. В измерительной технике в большинстве отраслей промышленности под предельной погрешностью понимается величина, равная двум среднеквадратическим отклонениям

Например, если класс точности прибора а этот прибор – манометр с максимальным значением давления по шкале 100кгс/см², то абсолютная погрешность этого прибора

,

следовательно, =0,5 ат .

Пусть имеется выборка объемом значений случайной величины. Оценкой является среднее выборки:

Для построения доверительного интервала необходимо знать распределение этой оценки. Для выборок из генеральной совокупности, распределенной нормально, доказано, что также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением (стандартной ошибкой) .Тогда

(4.3)

Задавшись доверительной вероятностью, определим по таблице значение функции Лапласа . Тогда доверительный интервал для математического ожидания будет иметь вид

или

Из оценки видно, что уменьшение доверительного интервала обратно пропорционально квадратному корню из числа наблюдений. Следовательно, если надо уменьшить возможную ошибку в два раза надо увеличить число наблюдений в 4 раза.

Если закон распределения оценки не известен, то в математической статистике применяют обычно два метода:

1) приближенный – при более 50 заменяют неизвестные параметры их оценками;

2) от случайной величины переходят к другой случайной величине, закон распределения которой не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки и от вида распределения величины . Такого рода величины наиболее подробно изучены для нормального закона. В качестве доверительных границ берут симметричные квантили

Если выразить через ,