Пример 1

Определить площадь поперечных сечений на всех участках чугунного стержня (рис. 3, а). Построить эпюры продольных сил N, напряжений σ и перемещений δ. Принять для чугуна [σ_с] = 180 МПа, [σ_р] = 60 МПа, Е = 10⁵ МПа = 10¹¹ Па.

Рассматриваемый стержень имеет одну опорную реакцию R, и для него можно составить лишь одно уравнение статики: ΣY = 0. Значит, эта система статически определима:

ΣY = R – F₁+F₂ – F₃ = 0,

откуда R = 1300 кН.

Стержень подвергается растяжению – сжатию. Выделяем участки нагружения 1 – 4 (между точками приложения внешних сил), в пределах которых намечаются сечения I – IV.

Для определения N₁ на первом участке рассмотрим равновесие части стержня, расположенной ниже сечения I – I. На нее действует реакция R (рис. 4). Уравнение статики ΣY = 0 имеет вид

ΣY = R + N₁ = 0,

N₁= – R = –1300 кН.

Полученный в результате подсчета знак минус при N₁ указывает,

что N₁ имеет направление, противоположное заданному, и что первый участок сжат.

Рис. 4. Определение внутренних сил N₁

На часть стержня, расположенную ниже сечения II — II, действуют реакция R и сила F₁. Тогда продольная сила в сечении II — II равна

N₂ + R – F₁= 0, N₂ = – R + F₁ = 300 кН.

Аналогично определяются N₃, N₄: N₃ = – 400 кН; N₄ = 0. По вычисленным значениям N строится эпюра продольных сил (см. рис. 3, б).

Из условия прочности определяем площади поперечных сечений на участках стержня:

A₁ = м² = 72,2 см²;

;

.

Вычисления сделайте самостоятельно.

Рассчитываемый стержень с найденными площадями поперечных сечений показан на рис.3, в.

Нормальные напряжения:

; ; .

Проделанные расчеты напряжений являются проверочными.

На рис. 3, г показана эпюра нормальных напряжений. Вычислим

деформации участков стержня:

Перемещение любого сечения стержня равно сумме деформаций участков, расположенных между сечением и опорой.

Перемещение δ_А точки А: δ_А = 0. Перемещение точки В обусловлено деформацией участка I:

Перемещение точки С складывается из деформаций участков I и II:

Перемещение точки D складывается из деформаций участков I, II

и III:

Перемещение точки E складывается из деформаций участков I, II, III

и IV:

По вычисленным значениям δ строится эпюра перемещений (см. рис. 3, д).

Задача 1. Растяжение и сжатие

(статически определимая система)

Произвести расчет стержня постоянного поперечного сечения (рис. 5) на прочность и жесткость. Материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ], равным 210 МПа и модулем продольной упругости Е, равным 200 ГПа. Данные к задаче приведены в табл. 1.

План решения задачи:

1) вычислить продольные силы на участках стержня и построить эпюру N;

2) определить размеры поперечного сечения (сторону квадрата или диаметр);

3) вычислить нормальные напряжения на участках стержня и пос­троить эпюру σ по длине стержня;

4) вычислить деформацию участков стержня и построить эпюру перемещений δ.

Таблица 1

Данные к задаче 1