Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Функция Лапласа

Читайте также:
  1. D) Осы кесіндіде функция шенелген болуы керек
  2. Return x; нет этой инструкции, ведь функция так ничего не вернет!
  3. А) - функциялары аралығында сызықты тәуелсіз және олардың әрқайсысы көрсетілген біртекті теңдеудің шешімдері
  4. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  5. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  6. А) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
  7. Автокорреляционная функция
  8. Аржы нарығы, экономиканы дамытудағы оның маңызы. Қаржы нарығының функциялары
  9. Аржылардың функциялары
  10. Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

 

 

Обозначим

 

Тогда

 

Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

,

 

которая называется функцией Лапласаили интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа.

 

 

 

 

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

 

1) Ф(0) = 0;

 

2) Ф(-х) = - Ф(х);

 

3) Ф(¥) = 1.

 

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.

 

Еще используется нормированнаяфункция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

 

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

 

 

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный, как правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

 

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

 

Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется правилом трех сигм.

Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т.к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.



Получаем:

 

 

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность распределения имеет вид:

Построим график:

 

 

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

 

 

 

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

 

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

 

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 56; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Нормальный закон распределения | Вариационные ряды. Генеральная совокупность и выборка
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.009 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты