Однофакторный анализ

Рассмотрим схему однофакторного дисперсионного анализа.Пусть на рассматриваемую величину Х влияет фактор Ф, который имеет р уровней. На каждом уровне, т.е. для одного из видов фактора Ф, проводятся измерения величины Х. Число таких измерений для всех уровней одинаково и равно q.

Составим таблицу полученных измерений. В последней строке помещены средние значения измерений для каждого уровня.

Номер измерения	Уровни факторов
Ф1	Ф2	…	ФР
	Х11	Х12	…	Х1р
	Х21	Х22	…	Х2р
…	…	…	…	…
q	Хq1	Хq2	…	Хqp
Групповая средняя			…

Общей средней является величина, равная

Общей суммой квадратов отклонений измеренных значений х_ij от общей средней называется выражение

R_общ = (1)

Факторной суммой квадратов отклонений групповых средних от общей средней называется выражение

R_факт = q (2)

Остаточной суммой квадратов отклонений наблюдаемых значений от групповых средних служит сумма

R_ост = (3)

Обычно остаточную сумму находят как разность

R_ост = R_общ - R_факт (4)

Подсчитав R_общ , R_факт по формулам (1), (2) и R_ост по формуле (3) или (4),можно получить факторную и остаточную дисперсии. С учетом того, что факторная дисперсия зависит от p составляющих и является смещенной оценкой, формула для несмещенной оценки дисперсии принимает вид

= , где р-1 – число степеней свободы несмещенной факт выб. дисперсии

Остаточная дисперсия зависит от х_ij (i=1,2,…,q; j=1,2,…,p), т.е. от pq составляющих. Следовательно, для несмещенной остаточной дисперсии

= , где p(q-1) - число степеней свободы несмещенной остат выб. дисперсии

С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина f _набл = / .

Так как отношение двух выборочных дисперсий и распределено по закону Фишера-Снедекора, то полученное значение f _набл сравнивают со значением функции распределения F = / в критической точке f _кр , соответствующей выбранному уровню значимости α (см. Приложение 5). Если f _набл <f _кр, то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.

Пример.Проведены измерения для каждого из трех уровней некоторого фактора Ф. в качестве уровня значимости принимается величина α = 0,05. Проверить нулевую гипотезу о незначительном влиянии фактора Ф.

Исходные данные приведены в таблице.

Номер измерения	Уровни фактора
Ф1	Ф2	Ф3

Р е ш е н и е. Находим общую среднюю .

Вычисляем разности у_іј = х_іј - и квадраты этих разностей

Номер измерения	Уровни фактора
Ф1	Ф2	Ф3
у11	у11 в квадрате	у12	у12 в квадрате	у13	у13 в квадрате
			-9		-8
			-5		-7
			-3
	-		-		-

Затем находим общую и факторную суммы:

R_общ = 170+116+142=428,

R_факт = q = 4[(35-29)² + (25-29)² + (27-29)²] = 224.

Вычисляем остаточную сумму R_ост = 428 – 224 = 204.

Определяем факторную и остаточную дисперсии:

= 224/2 = 112

= 204/(3*3) = 22,67.

Находим f _набл =112/22,67=4,96.

По таблице распределения Фишера Снедекера для α = 0,05, чисел степеней свободы 2 и 9 находим f _крит (0,05;2;9) = 4,26., т.к. f _Крит < f _набл , то заключаем что фактор влияет существенно и нулевую гипотезу отвергаем.

Для расчета R_общ и R_факт могут быть использованы также формулы

R_общ = , R_факт = q[ - p( )²].

Пример. Для проверки влияния внутрицехового оформления на качество продукции рассмотрены три участка по производству однотипной продукции и проведена выборочная проверка процента брака за пять месяцев. Результаты помещены в таблице. Методом дисперсионного анализа при уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу о существенном влиянии оформления участка на качество продукции.

Номер измерения	Уровни фактора
Ф1	Ф2	Ф3
	2,4	4,2	4,6

РЕШЕНИЕ:

Находим общую среднюю

Рассчитываем R_общ , предварительно вычислив квадраты вариант

Номер измерения	Уровни фактора
Ф1	Ф2	Ф3

R_общ = 34 + 95+151 – 3*5*3,73² =71,3

R_факт = 5(2,4²+ 4,2² +4,6² -3*3,73²) = 14,1

R_ост = 71,3 – 14,1 = 57,2

Определяем = 14,1/2=7,05 и = 57,2/12 = 4,77

f _набл = 7,05/4,77 = 1,48

Для α = 0,05, чисел степеней свободы 2 и 12 f _Крит (0,05;2;12) = 3,89 , что больше f _набл.

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем суть дисперсионного анализа?

1. Что называют факторной дисперсией?
2. Что называют остаточная дисперсия
3. Какой анализ называют однофакторным, многофакторным?
4. Формула общей суммы квадратов.
5. Формула факторной суммой.
6. Формула остаточной суммой.

Рекомендуемая литература

Основная:

1. Тырсин, А. Н. Математика.Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/ А. Н. Тырсин.- Челябинск : Челяб. гос. ун-т, 2007.- 235 c.

Дополнительная:

1. Общий курс высшей математики для экономистов [Текст]: Учебник /Под ред. В. И. Ермакова.- М.: Инфра-М, 2008.- 656 с.- Гриф МО
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов [Текст]: Учебное пособие.- 2-е изд., испр.- М.: Инфра-М, 2008.- 574 с.- Гриф УМО