Задача оптимального распределения инвестиций

Инвестор выделяет средства в размере с усл. ед., которые должны быть распределены между m предприятиями. Каждое i-тое предприятие при инвестировании в него средств приносит прибыль усл. ед. Нужно выбрать оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, обеспечивающее максимальную прибыль.

В данном случае речь идет об однократном распределении средств, и поэтому задача сама по себе не является динамической. Однако ее можно наиболее просто решить как многошаговую, если объекты капиталовложений включать в рассмотрение последовательно, то есть на каждом шаге к рассмотренным добавлять следующий.

Пусть имеются четыре предприятия, между которыми следует распределить 400 усл. ед. Получаемая предприятиями прибыль в зависимости от выделенной суммы представлена в таблице (объем инвестиций разбивается на N интервалов с шагом ):

Целевая функция при ограничениях .

Пусть – объем средств, выделяемых предприятиям, причем ; – максимальная прибыль фирмы, если средств выделить только первому предприятию; – максимальная прибыль фирмы, если средств разделить между первым и вторым предприятиями; – максимальная прибыль фирмы, если средств разделить между первым, вторым и третьим предприятиями; – максимальная прибыль фирмы, если средств разделить между всеми четырьмя предприятиями. При этом .

Обратный ход. Рассмотрим финансирование только первого предприятия, тогда по определению

.

Распределим средства в объеме между первым и вторым предприятиями: второму в объеме , тогда выделяется первому, следовательно,

.

Включим в рассмотрение третье предприятие: из общей суммы выделим третьему предприятию усл. ед., тогда остальная часть оптимальным образом распределится между двумя первыми предприятиями:

. Аналогично, .

Прямой ход. Полученные функциональные уравнения Беллмана позволяют рассчитать значения и для всех возможных . Среди них находим и оптимальное такое, что , после чего результаты вычислений просматриваются в обратном порядке. Зная , находим – объем финансирования остальных трех предприятий, а, следовательно, и и и т.д. до нахождения и .

Произведем расчет.

Обратный ход. Составим расчетную таблицу значений и , которая заполняется по столбцам:

Элементы в столбцах для находим по уравнениям Беллмана. Например,

.

Прямой ход.

Из таблицы следует, что (усл. ед.) и

, следовательно, четвертому предприятию следует выделить 160 усл. ед., то есть . Тогда

, следовательно, , , .

Ответ: x^* = (0; 0; 240; 160), = 203.

Таким образом, для получения максимальной прибыли в размере 203 усл. ед. следует 240 усл. ед. вложить в третье предприятие и 160 усл. ед. в четвертое, в первое и второе предприятия вкладывать не стоит.

Замечание 11.1. По расчетной таблице можно получить стратегию вложения средств, например, только в первые два предприятия, или вложение суммы в 240 усл. ед. во все четыре предприятия и т.д. Это так называемый «принцип погружения» метода динамического программирования.