Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язування

Читайте также:
  1. Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнетних). Резонанс. Резонансні криві. Парамет-ричний резонанс
  2. Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнітних). Резонанс. Резонансні криві. Параметричний резонанс
  3. Використання рівняння Шредінгера до атома водню. Хвильова функція. Квантові числа
  4. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
  5. Де частота власних коливань математичного маятника
  6. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
  7. Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування
  8. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань і його розв’язування
  9. Дифференціальні рівняння вищого порядку

Щоб у реальній коливальній системі одержати незатухаючі коливання, треба компенсувати цій системі втрати енергії. Таку компенсацію можна здійснити за допомогою якого-небудь періодично діючого фактора X(t), який змінюється за гармонічним законом:

 

 

Для механічних коливань пружинного маятника роль X(t) відіграє зовнішня вимушуючи сила

 

(1)

 

З урахуванням цієї сили закон руху пружинного маятника запишеться у вигляді

 

 

Якщо скористатися позначеннями , , то прийдемо до рівняння

 

(2)

 

Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв’язок такого рівняння складається з двох частин, загального розв’язку відповідного рівняння без правої сторони і часткового розв’язку цього рівняння з правою стороною, тобто

 

 

де A0 ─ амплітуда зміщення в початковий момент часу (t=0); А ─ амплі-туда коливань, яка установиться через деякий час.

Через деякий час t1, завдяки дії вимушеної сили F0 , амплітуда коливань досягне максимального значення (рис. 1). З цього моменту часу розв’язком рівняння (2) буде лише функція

 

(3)

 

 

Рис. 1

 

Відповідні похідні від (3) підставимо в рівняння (2), одержимо

 

(4)

 

У виразі (4) сталі величини А і ω повинні мати такі значення, щоб гармонічна функція дорівнювала сумі трьох гармонічних функцій, які стоять в лівій частині рівняння. Для виконання цієї умови, необхідно щоб сума трьох векторів при відповідних косинусах в лівій частині (4) дорівнювала вектору, який стоїть біля косинуса в правій частині. Однак вектори і напрямлені по одній лінії, але в різні боки. Вектор напрямлений перпендикулярно до перших двох. Зазначена вище умова може бути реалізована за допомогою векторної діаграми (рис. 2).

Векторна діаграма дає можливість визначити амплітуду і початкову фазу вимушених коливань. З діаграми видно, що

 

. (5)

 

 

Рис. 2

 

 

Звідки амплітуда вимушених коливань буде дорівнювати

 

(6)

 

Початкова фаза вимушених коливань, як видно з векторної діаграми, дорівнює

(7)

 



З урахуванням співвідношень (6) і (7) розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань (2) матиме вигляд

 

(8)

 

Якщо розглянути електричний коливальний контур, то роль змінної величини в цьому випадку буде мати е.р.с., або змінна напруга

 

(9)

 

Диференціальне рівняння вимушених коливань в коливальному контурі, з урахуванням (9), буде мати вигляд

 

(10)

 

Використовуючи позначення, аналогічні до (2), прийдемо до рівняння

(11)

 

Розв’язком рівняння (11) є функція, аналогічна до (3), тобто

 

(12)

 

Амплітуда заряду вимушених електромагнетних коливань буде дорівнювати

. (13)

 

Підстановка значень і в (13) дає значення амплітуди електромагнетних коливань в такому вигляді

 

(14)

 

Похідна за часом від (12) дає можливість одержати в коливальному контурі закон зміни електричного струму

 

,

 

де ─ максимальний струм у коливальному контурі.


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 52; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Диференціальне рівняння вільних затухаючих коливань і його розв’язування | Амплітуда і фаза вимушених коливань (механічних і електромагнетних). Резонанс. Резонансні криві. Парамет-ричний резонанс
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2017 год. (0.011 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты