Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Якщо то ; проте , тобто , оскільки , то . Звідси або .

Читайте также:
  1. Б. Всероссийский рынок. Внешняя торговля. Политика протекционизма и меркантилизма
  2. Возникновение капитализма, Реформация и протестантская этика
  3. ВОПРОС 1. Процесс составления и подача морских протестов
  4. ВОПРОС 3. Совершение протеста векселя
  5. Выражение (3) означает, что реакция в системе протекает в сторону
  6. ГАСТРОПРОТЕКТОРЫ
  7. Глава 25. АНГИОПРОТЕКТОРЫ
  8. Гликопротеины и пептидогликаны
  9. Государственный протекционизм
  10. Диcгомеостазы. Гипопротеинемия. Диспротеинемия.

5. Матриця є ідемпотентною, rgA = 1 і матриця Z має таку властивість, що ( ) — квадратна симетрична невироджена матриця.

Приклад 5. Нехай ; тоді ;

,

отже, матриця — невироджена.

.

Визначимо нову матрицю А так:

.

Матриця А — симетрична та ідемпотентна, оскільки . Зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 1.

Знайшовши характеристичні корені цієї матриці, тобто розв’язавши рівняння , дістанемо = 1 і = 0 кратності 2, що ілюструє виконання властивості 4.

Диференціювання функції багатьох змінних
(градієнт функціі f (x) )

Розглянемо операцію диференціювання функції багатьох змінних f (x1,x2 ... xn), коли змінні задано у формі матриці-рядка, або, що те саме, вектора, тобто X = (x1, x2 ... xn . Тоді можна коротко записати f (x) = (x1, x2 ... xn .

Означення 5. Градієнтом функції f(x) (позначається: ) називається вектор, який складається з частинних похідних функції f (x) за x1, x2 ... xn:

(20)

Нехай потрібно визначити градієнт функції , коли і .

Тоді

.

Отже, градієнт функції

. (21)

Узявши до уваги, що , градієнт можна визначити як

. (22)

Далі розглянемо функцію , де A = (aij) — симетрична матриця порядку n і n-вимірна матриця-стовпець. Функцію такого типу визначають як квадратичну форму.

Визначимо градієнт квадратичної форми. Для цього подамо як скалярний добуток:

(23)

.

Знайдемо компоненти вектора-градієнта.

Перший компонент

.

другий компонент:

n-й компонент:

Отже, градієнт від квадратичної форми має вигляд

(24)

Отже, скорочено

(25)

Питання для самоконтролю.

1. Задані матриці:

Знайдіть матриці суми (різниці): . Поясніть, чому не існує суми (різниці) матриць: .

2. Для матриць із завдання 1 знайдіть добутки: BA; CF; CK; AE; DE. Поясніть, чому не існує добутків AB; CD; FC; FB; KA; KE.

3. Для матриць із завдання 1 знайдіть транспоновані до них матриці.

4. Із множини матриць завдання 1 знайдіть симетричні. Яка ознака симетричної матриці?

5. Покажіть, що для матриць із завдання 1 справджується тотожність .

6. Яка матриця називається ідемпотентною? Покажіть, що матриця є ідемпотентною.

7. Назвіть скалярні характеристики матриць.



8. Покажіть, що для матриць А і С із завдання 1 ; .

9. Дано матрицю . Чому дорівнює слід (tr A) матриці А?

10. Для матриці А із завдання 9 покажіть, що .

11. Дано симетричну матрицю . Покажіть, що .

12. Знайдіть визначник матриці А із завдання 11.

13. Для матриці А із завдання 11 покажіть, що .

14. Яка матриця має обернену матрицю? Які з поданих далі матриць мають обернені:


15. Наведіть основні властивості оберненої матриці.

16. Задано матрицю , обернену до матриці А:

.

Покажіть, що .

17. Покажіть, що матриця

.

є ортогональною.

18. Задана систему лінійних рівнянь

Матриця, обернена до матриці системи,

.

Знайдіть розв’язок даної системи рівнянь.

19. Яка матриця називається блоковою?

20. Задано по чотири блоки блокових матриць А і В:

;

Знайдіть суму (різницю) блокових матриць .

21. Яка умова множення блокових матриць? З відповідних блоків матриць А і В з попереднього завдання складіть дві матриці, які можна було б помножити одна на одну.

22. Задано матриці

Знайдіть матрицю Кронеккeр-добутку (прямого множення) .

23. Задана блочна невироджена матриця



Знайдіть обернену матрицю .

24. Яке рівняння називають характеристичним рівняння матриці А?

25. Яку назву мають корені характеристичного рівняння?

26. Чому дорівнює добуток , де Х — власні вектори матриці А?

27. Знайдіть характеристичні корені і власні вектори матриці:

28. Дайте означення квадратичної форми. Запишіть її у розгорнутому вигляді і в матричній формі.

29. Коли квадратична форма є додатно визначеною і напіввизначеною?

30. Яку квадратичну форму називають випадковою квадратичною формою?

31. Чому дорівнює математичне сподівання випадкової квадратичної форми?

32. Сформулюйте властивості випадкової квадратичної форми.

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 26; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Квадратичні форми. | Загальний вид рівняння парної регресії.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2017 год. (0.182 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты