Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника


Властивості збіжних послідовностей




 

 

ТеоремаЗбіжна послідовність має єдину границю.

Доведення. Припустимо, що збіжна послідовність має дві різні границі і , тобто . Тоді та , де і - елементи нескінченно малих послідовностей та . Отже, або Оскільки , за властивістю нескінченно малих послідовностей, є елементами нескінченно малої послідовності, а постійне число, то . Таким чином, .

Теорема. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Доведення. Нехай і - номер, починаючи з якого виконується нерівність , де . Тоді

 

 

для всіх . Виберемо . За цієї умови для будь-якого .

Зазначимо, що не всяка обмежена послідовність є збіжною. Наприклад, послідовність обмежена, але не збіжна.

 

 

Теорема 2.6. Якщо і - збіжні послідовності, то:

1. Послідовність , яка є сумою (різницею) збіжних послідовностей та , збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей, тобто .

 

2. Послідовність , яка є добутком збіжних послідовностей й , збіжна і її границя дорівнює добутку границь цих послідовностей, тобто .

3. Послідовність , яка є часткою збіжних послідовностей та , за умови , збіжна і її границя дорівнює частці границь цих послідовностей, тобто .

Доведення. Нехай і - збіжні послідовності та . Тоді і , де й – елементи нескінченно малих послідовностей і . Покажемо, що має місце:

 

1) .

 

Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності , то звідси випливає, що .

 

2) .

Оскільки є елементами нескінченно малої послідовності , то .

Тобто .

 

3)

Послідовність є нескінченно малою. Покажемо, що послідовність обмежена. Оскільки і , то для існує такий номер , що для всіх виконується нерівність ,

отже, , тобто , а тому для всіх . Звідси випливає, що послідовність обмежена.

Таким чином, послідовність нескінченно мала, а тому

 

,

тобто

, де .

 

Зауваження. Пункт 1) наведеної теореми допускає узагальнення на довільне скінченне число доданків. Пункт 2) - на довільне скінченне число множників. Із пункту 2) випливає, що постійний множник можна виносити за знак границі, тобто

 

.

 

 


Поделиться:

Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 162; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав





lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты