Аналітичні методи

Для зменшення трудомісткості розрахунку перехідних процесів в дискретно-лінійних ланцюгах, рішення диференційного рівняння

представляють у вигляді вільної і перехідної складових.

Х(t) = X_ВІЛ(t) + X_ПЕР(t). (1)

За умови, що параметри ланцюга задані матрицею А а параметри зовнішньої дії вектором стовпцем V, то вирази для вільної і перехідної складової знаходяться за наступними формулами:

X_ВІЛ(t) = Х₀ ∙ е^Аt. (2)

. (3)

де Х₀ – початкові умови,

е^Аt – матрична експонента.

Матрична експонента е^Аt описує реакцію змінних стану ланцюга на одиничні початкові умови, тому її значення не залежить від початкових умов і зовнішньої дії. Цю особливість використовують для розрахунку перехідних процесів у дискретно-лінійних ланцюгах. Розрахувавши на першому періоді перехідного процесу компоненти матричної експоненти, їх значення використовують для розрахунку перехідного процесу на наступних періодах. Це значно зменшує трудомісткість розрахунків і дає змогу розраховувати перехідні процеси в регуляторах постійної напруги. В цьому випадку значення перехідної складової розраховується з формули (3) при підстановці V(τ) = V = const:

, (4)

де Е – одинична матриця,

Х_ВИМ – вимушена складова.

Для застосування метода аналізу процесів для пристроїв на вхід яких подається змінна напруга виведемо формули розрахунку перехідного процесу для синусоїдальної, експоненційної і лінійно зростаючої напруги. У випадку синусоїдальної зовнішньої дії в формулу (3) необхідно підставити V(t) = Е₀ sin(wt+φ):

, (5)

де w, sin(wt + φ), cos(wt + φ) – діагональні матриці такої ж розмірності як і матриця А:

, ,

.

Е₀ – вектор стовпець, що описує вплив зовнішньої дії на перехідний процес.

Якщо напруга зростає лінійно, V(t) = Е₁t +Е₀.

(6)

Для зменшення обсягу розрахунків крок з яким розраховується перехідний процес Δt доцільно обрати кратним періоду зовнішньої дії. В цьому випадку значення матриць sin(wkΔt + φ), cos(wkΔt + φ) в к-ій точці періода можна обчислити лише на першому періоді, а на наступних періодах використовувати їх чисельні значення. Матрична експонента в точці t розраховується за допомогою розкладу у ряд Тейлора:

. (7)

В подальших точках розраховується за рекурентною формулою:

. (8)