Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Приклади. 1. Нехай у прямокутній декартовій системі координат рівняння ax+by+cz+d=0 визначає деяку площину

Читайте также:
  1. Пояснити термін «протокольні формули» та навести приклади.
  2. Приклади.
  3. Приклади.
  4. Приклади.
  5. Приклади.

1. Нехай у прямокутній декартовій системі координат рівняння ax+by+cz+d=0 визначає деяку площину , а також задана точка . Обчислимо відстань від даної точки до площини . Вважатимемо, що точка – основа перпендикуляра, опущеного із точки на площину (рис. 1).

Рис. 1
Як відомо, вектор перпендикулярний до площини , тому вектори та колінеарні, тобто виконується рівність . Прирівнюючи координати векторів, дістаємо

, , ,

або , , .

Оскільки координати точки задовольняють рівняння площини , то виконується рівність , звідки . Тоді

= .

Таким чином,

. (1)

Одержане співвідношення виражає відстань від точки до площини.

2. Задамо в просторі афінну систему координат та розглянемо площину , задану рівнянням . Вона розбиває весь простір на два півпростори із спільною границею – площиною . Знайдемо умови, які визначають ці півпростори.

Виберемо на даній площині деяку точку та проведемо через неї паралельно до вектора пряму (рис. 2). Даний вектор не може бути паралельним до площини , оскільки тоді, згідно з лемою про паралельність вектора та площини (лекція 7, п. 3), виконувалася б рівність , що неможливо. Нагадаємо, що в прямокутній системі координат вектор перпендикулярний до площини . Виберемо на прямій довільну точку та запишемо рівності , які випливають із колінеарності векторів та , оскільки останні можна зв’язати між собою рівністю . Обчислимо значення виразу для точки :

.

Оскільки , то знак виразу залежить від знаку множника . Якщо , то вектори та співнапрямлені, тому всі точки , для яких >0, будуть утворювати півпростір, обмежений площиною (цьому півпростору належить кінець вектора ). При вектори та напрямлені протилежно, тому множина точок, для яких <0, утворює інший півпростір, границею якого є площина .

3. Дослідимо взаємне розташування двох площин , заданих в деякій афінній системі координат рівняннями

, .

Очевидно, що площини та можуть бути паралельними (зокрема співпадати), або перетинатись. У першому випадку можна говорити про відстань між ними, а у другому – про кут між площинами.

Дослідимо умову паралельності площин. Нехай . Розглянемо паралельні до площини вектори та (нагадаємо, що вектор паралельний до площини тоді і тільки тоді, коли виконується рівність ). Для того, щоб площини та були паралельними, необхідно і достатньо, щоб ці вектори були паралельними до площини , тобто повинні виконуватися рівності



, . (2)

Звідси дістаємо умову паралельності площин

(3)

у випадку, коли , та відмінні від нуля. Зауважимо, що у випадку паралельності площин, якщо , то . Справді, якби 0 і , то площина була б паралельна осі , в той час, коли площина до осі не паралельна. При з рівності (2) дістаємо . Аналогічно, при дістаємо . Тобто якщо деякі із коефіцієнтів біля змінних в рівнянні однієї з площин рівні нулю, то для паралельності площин необхідно, щоб у рівнянні другої площини відповідні коефіцієнти теж дорівнювали нулю.

Нехай та , , . Вважатимемо також, що точка . Площини та співпадатимуть, якщо точка . Із рівностей , , помноживши другу із них на та віднявши від першої, дістаємо . Звідси дістаємо умову співпадання двох площин у виді пропорції

(наявність нуля в одному із знаменників вимагає рівності нулю відповідного чисельника).



Нехай умова (3) паралельності площин не виконується, тобто площини перетинаються. При перетині двох площин утворюються чотири двогранні кути, величини яких ми хочемо визначити, користуючись рівняннями площин. Вважатимемо систему координат прямокутною декартовою. Оскільки вектор та вектор , то кут між векторами та буде рівний одному із двогранних кутів між площинами (рис. 3).

Скориставшись скалярним добутком векторів та , дістаємо

Зокрема площини будуть перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли , тобто, коли виконується умова

.

4. Нехай площини та будуть паралельні. Тоді їхні рівняння можна записати у виді

, .

Знайдемо відстань між даними площинами. Якщо точка , то шукана відстань буде дорівнювати відстані від цієї точки до площини . Користуючись формулою відстані від точки до площини з пункту 1, дістаємо

.

5. Взаємне розташування двох площин можна досліджувати і іншими способами, зокрема, користуючись методами лінійної алгебри. Покажемо, як використовується цей метод при дослідженні взаємного розташування трьох площин , заданих рівняннями

, .

Дослідимо систему рівнянь

. (4)

Для цього введемо в розгляд матриці

та і позначимо їхні ранги відповідно через та .

Можливі наступні випадки:

a) . В цьому випадку система (4) має єдиний розв’язок, а площини мають єдину спільну точку;

б) . Система (4) має однопараметричну нескінченну сім’ю розв’язків. Всі три площини в цьому випадку перетинаються по спільній прямій або дві з площин співпадають; а третя їх перетинає.

в) . Система (4) має двопараметричну нескінченну сім’ю розв’язків, тобто, рівносильна одному із трьох її рівнянь. У цьому випадку всі три площини співпадають;

г) , . Система (4) розв’язків не має. Площини попарно перетинаються по трьох паралельних прямих, або дві з площин паралельні, а третя їх перетинає;

д) , . Система (4) розв’язків не має. У цьому випадку площини паралельні між собою (можливий випадок співпадання двох із них).

6. Наведемо приклади.

Задача 1. Визначити, на якій відстані від початку координат проходить площина , задана рівнянням .

Розв’язання. Користуючись рівністю (1), дістаємо

Відповідь: 2.

Задача 2. У трикутній піраміді SABC ребра SA, SB та SC взаємно перпендикулярні та рівні відповідно . Обчислити довжину висоти SH.

Розв’язання. Введемо прямокутну систему координат, вибравши початок координат в точці та вибравши за напрямки осей відповідно напрямки променів SA, SB та SC. Оскільки на осях та площина ABC відтинає відповідно відрізки та , то її рівняння запишеться у виді . Скориставшись формулою (1), одержуємо довжину висоти SH, як відстань від точки до площини (ABC): .

Задача 3. Встановити, чи перетинає площину, яка задана рівнянням , відрізок, кінці якого знаходяться в точках та .

Розв’язання. Визначимо знак виразу для кожної із заданих точок. Знаходимо , . Оскільки обидві точки розташовані в одному півпросторі, то відрізок площину не перетинає.

Задача 4. Скласти рівняння площини, яка проектує пряму на площину , яка задана рівнянням .

Розв’язання. Очевидно, що проектуюча площина паралельна до векторів та , перший з яких паралельний до заданої прямої, а другий перпендикулярний до площини . Крім цього, площина повинна проходити через точку , яка належить прямій. Рівняння шуканої площини запишемо у вигляді визначника . Після очевидних обчислень дістаємо шукане рівняння .

Відповідь: .

 

 


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 31; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Задачі. 1. Рівняння визначає в просторі деяку поверхню | Задачі. 1. Дослідимо, як розташовані в просторі деяка пряма та площина , знаючи рівняння цих фігур:
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2018 год. (0.014 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты