Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.

Читайте также:
  1. Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
  2. Арифметичні операції над двійковими числами. Машинні одиниці інформації
  3. Банк, його види, операції та функції
  4. Банківські операції з векселями
  5. Векторы и операции над ними.
  6. Гра „Чарівні перетворення".
  7. Державний устрій якобінської диктатури, її основні соціально-економічні і політичні перетворення
  8. Джерела виникнення надзвичайних ситуацій техногенного характеру та їх класифікація
  9. Додатні раціональні числа як нескінченні періодичні десяткові дроби. Чисті та мішані періодичні дроби та їх перетворення у звичайні.

8. Ми вже розглянули три числових множини: натуральні, цілі та раціональні числа. У кожній із цих множин ми навчилися порівнювати та виконувати арифметичні операції додавання, віднімання, множення і ділення. При порівнянні чисел виявилося, що натуральні і цілі числа набагато простіше порівнювати, ніж дробові. Разом з тим, досить легко порівнювати дробові числа з однаковими знаменниками. Саме ця ідея й була використана для запису дробових чисел без знаменника, що значно спрощувало порівняння таких чисел. Розглянемо систему числення з основою q. У такій системі числення довільне натуральне число nєN можна записати як суму добутків цифр цієї системи на степені основи системи числення наступним чином: n=akqk+ak-1qk-1+ak-2qk-2+…+a2q2+a1q1 +a0q0, де nєN і ak, ak-1, ak-2,…, a2, a1, a0 – цифри числа n у системі числення з основою q. Інколи таке число записують і так: n=akak-1ak-2…a2a1a0. При таких записах порівнювати та виконувати арифметичні операції набагато простіше, бо існують відповідні алгоритми.

Видатний узбецький математик і астроном аль-Коші продовжив такий запис на числа менші за одиницю, відділивши більші за одиницю та менші за одиницю числа комою. Завдяки цьому він отримав такі записи: 1) r=akqk+ak-1qk-1+ak-2qk-2+…+a2q2+a1q1+…+a0q0+b1q-1+b2q-2+b3q-3+…+bmq-m, де ak, ak-1, ak-2, …, a2, a1, a0, b1, b2, b3,…,bm – цифри числа r у системі числення з основою q; 2) r=akak-1ak-2…a2a1a0b1b2b3…bm. Такі дробові числа прийнято називати системними або систематичними дробами.

Означення: системним або систематичним дробом називають дріб, чисельник якого записано у деякій позиційній системі числення з основою q, а знаменник дорівнює степені основи q.

Якщо q=10, ми приходимо до поняття десяткових дробів, наприклад: 864,23=8•102+6•101+4•100+2•10-1+3•10-2=86423/102. Отже, приймаємо таке означення та без доведення кілька теорем.

Означення: десятковим дробом називається звичайний дріб із знаменником, що дорівнює степені десяти, записаний в десятковій позиційній системі числення

Означення: цифри, що стоять у десятковому дробі після коми, називаються десятковими знаками.

Теорема 1: множення десяткового дробу на 10n досягається перенесенням коми на n знаків (цифр) вправо.



Теорема 2: ділення десяткового дробу на 10n досягається перенесенням коми на n цифр вліво.

Теорема 3: дописування або відкидання у десятковому дробі нулів, які стоять наприкінці десяткового дробу, не змінює його величини.

Теорема 4: для зведення десяткових дробів до спільного знаменника достатньо приписати до того десяткового дробу, в якого менше десяткових знаків, стільки нулів, щоб десяткових знаків в обох дробах стало порівну.

На основі цієї теореми можна вважати, що всі десяткові дроби зведені до спільного знаменника.

Означення: число, яке стоїть у десятковому дробові до коми, називається цілою частиною. Число, яке стоїть у десятковому дробові після коми, називається дробовою частиною.

Теорема 5: із двох десяткових дробів більшим є той, у якого ціла частина більша. Із двох десяткових дробів з рівними цілими частинами більшим є той, у якого більший перший з нерівних десяткових знаків.

Для того, щоб виконувати операції над десятковими дробами, спочатку розглянемо питання про можливість перетворення звичайних дробів у десяткові та десяткових у звичайні. З шкільного курсу математики відомо, що легко перетворити будь-який десятковий дріб у звичайний, а от не всякий звичайний дріб можна перетворити у десятковий. Для перетворення десяткового дробу в звичайний його записують із знаменником, який є степенем числа 10, а потім, по можливості, проводять скорочення звичайного дробу до нескоротного. Відповідь про можливість перетворення звичайного дробу у десятковий дає наступна теорема.

Теорема 6: для того, щоб нескоротний дріб можна було записати у вигляді десяткового дробу, необхідно і достатньо, щоб до канонічного розкладу знаменника входили лише прості множники 2 і 5.


Дата добавления: 2014-12-03; просмотров: 85; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Властивості множини невід’ємних раціональних чисел. | Доведення. Оскільки у формулюванні теореми є словосполучення необхідно і достатньо, то доведення складатиметься з двох частин
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2017 год. (0.009 сек.) Главная страница Случайная страница Контакты